Supremum, Infimum, Maximum, Minimum? A = { |x| / (1+ |x|) : x ∈ ℝ}

Question

In meiner Aufgabe habe ich vier Teilmengen von ℝ gegeben, die ich auf Supremum, Infimum, Maximum und Minimum prüfen muss.

Ich habe schon gestern mehrere Stunden versucht, das zu lösen, aber ich glaube ich mache was falsch bzw. stehe komplett auf dem Schlauch.

Meine erste Teilmenge, die ich einfach mal A gennant habe, ist folgende:

A = { |x| / (1+ |x|) : x ∈ ℝ}

Mein Ansatz:

Ich habe einfach mal für x die Zahlen 1 bis 4 eingesetzt. Ich hab dann folgende Werte erhalten:

{1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...}  -> Da bei größerem x auch die Werte größer werden und sich immer mehr der 1 nähern (aber nie =1 sein werden) habe ich beschlossen, dass 1/2 sowohl Minimum, da 1/2 ∈ A, also auch Infimum ist. Supremum ist 1, aber 1 ist nicht Maximum, weil 1∉ A.

Meine Frage: Wie soll ich das ganze formal aufschreiben oder würde das theoretisch schon reichen ? Ist das überhaupt richtig ?

Comments

1/2 kann nicht das Minimum sein, da 0 ∈ A ist.

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Wenn ich als erste Zahl x=0 einsetzte habe ich 0 ∈ A und mit 0 dann mein Minimum, klar ist ja offensichtlich. Hab ich damit auch mein Infimum ? Oder bleibt 1/2 mein Infimum ?
Wie beweise ich das formal ?

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Offensichtlich sind alle Elemente von A nichtnegativ. Da 0 ∈ A ist, ist 0 sowohl Minimum als auch Infimun.

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Super, danke!

Reicht das denn auch als Begründung ?

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Sollte m.E. ausreichen.

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Alles klar.

 Danke für deine Hilfe!

Answer 1

als kleiner Tipp am Rande erstmal: Wenn eine Menge ein Maximum oder Minimum besitzt so sind das Supremum und Infimum der Menge genau diese. In deinem Fall hast du ja schon ein Minimum bestimmt also hast du automatisch dein Infimum.

Betrachte nun die Überlegung, dass 1 das Supremum der Menge ist.

Das 1 eine obere Schranke für die Menge ist klar. Außerdem ist 1 kein Element der Menge

Nehmen wir an es gibt ein kleinere obere Schranke 0<c<1 für die Menge, dann muss gelten

\( |x| < c + c|x| \quad \forall x \in \mathbb{R} \)

Dies würde aber bedeuten, dass

\( |x| < \frac{c}{1-c} \quad \forall x \in \mathbb{R}\)

was offensichtlich falsch ist. Somit ist 1 die kleinste obere Schranke und damit das Supremum der Menge. Andererseits hat man damit auch gezeigt, dass die Menge kein Maximum besitzt, da die Werte der Menge beliebig nahe an 1 rankommen.

Gruß