Text erkannt:
Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow R \) definiert durch \( f(x)=e^{-x} \cdot \cos (x) \).
a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema von f,
b) Bei jedem lokalen Extremum bestimmen Sie, ob es sich um ein lokales Minimum oder Maximum handelt,
c) Bestimmen \( \operatorname{Sie} \sup \{f(x): x \in[0, \infty)\} \). Begründen Sie , dass das tatsächlich das Supremum ist.
Aufgabe:
Problem/Ansatz:
Ich bin nicht sicher wie ich Infimum und Supremum in Bezug auf Funktionen herausfinde. Wir hatten das Thema in Bezug zu Reihen und damit bin ich zurecht gekommen. Wie kann ich dies auf Funktionen übertragen? Ist das Infimum wie das globale Minimum zu sehen?
Text erkannt:
\( \begin{array}{ll} f(x)=e^{-x} \cdot \cos (x) & u=e^{-x} \quad x \\ f^{\prime}(x)=-e^{-x} \cdot \cos (x)+e^{-x} \cdot-\sin (x) & u^{\prime}=-e^{-x} \times v^{\prime}=-\sin (x) \\ f^{\prime}(x)=-\left(e^{-x} \cdot \cos (x)+\sin (x)\right) & \end{array} \)
a) Lokale Exhrema:
\( f^{\prime}(x)=0,-\left(e^{-x} \cos (x)+\sin (x)=0\right. \)
Da \( e^{-x}>0 \) für ave \( x \) und \( \sin (x)=\cos (x) \) far kein \( x \) beide \( =0 \) sind:
\( \begin{array}{l} \cos (x)=-\sin (x) \quad \mid \cdot(-1) \\ -\cos (x)=\sin (x) \end{array} \)
Lim intervall \( [0, \infty): x=\frac{3}{4} \pi+k \cdot \pi, k \in \mathbb{R} \).
\( \Rightarrow \) Exherma on del stellen \( \frac{3}{4} \pi+k \pi, k \in \mathbb{N} \). Exhremsteule ist immer in einem \( { }^{4} \) Abstond \( \pi \) zur nächsten.
c)
Im Skript steht:
Ist M nach unten beschränkt und existiert eine größte untere Schranke x ∈ K von M
(d.h. y ≤ x, falls y auch eine untere Schranke von M ist), dann heißt x das Infimum
von M und wir schreiben dann inf M = x. Gilt x ∈ M, dann heißt x das Minimum
von M und wir schreiben min M = x.
Das Wissen kann ich hier leider gerade nicht umsetzen.
