Beweis von Infimum und Supremum mithilfe der Beziehung zwischen beschränkten nicht leeren Mengen

Question

geben ist mir folgende Aufgaben welche ich lösen soll:

Seien A und B beschränkte, nicht leere Teilmengen von R und sei:

$$C:= \{ab :a \in A \land b \in B\}$$

Zeigen Sie:

$$\text{a) } A \subset B \Longrightarrow (supA \leq supB) \land (infA \geq inf B) \\\text{b) } (infA \geq 0) \land (infB \geq0) \Longrightarrow (supC= supA*supB) \land (infC=infA*inf B)$$

Problem/Ansatz:

Für a) habe ich folgende Idee jedoch weiss ich nicht wie ich es ausführen soll:

$$\text{a) } A \subset B \Longrightarrow (supA \leq supB) \land (infA \geq inf B) \\\text{Für Supremum: } x \in A \subset x\in B \Longrightarrow \forall x\in A: x \leq x\in B \Longrightarrow supA \leq sup B \\\text{Für Infimum: }y \in A \subset y\in B \Longrightarrow \forall y\in A: y \geq y\in B \Longrightarrow infA \geq infB \\\blacksquare$$

Bei Aufgabe b) habe ich keine Idee wie ich diese Beziehung zeigen soll. Also die Bedingung dass die Infimums von A und B größergleich 0 sein sollen, dient wohl dazu, dass folgendes nicht möglich ist:

$$supC= sup(-A)*sup(-B)$$

Jedoch habe ich kein Ansatz bzw. Beweisidee was zur tun ist. Kann mir jemand sagen wie genaue ich die Aussage beweisen soll?

Answer 1

Ich vermute, dass du auch bei a) noch genauer mit Bezug auf

die Definition argumentieren musst. Für sup etwa so:

Sei  A ⊆ B

Das sup einer Menge ist die kleinste obere Schranke.

Für sup(A) ≤ sup(B) ist also zu zeigen:

sup(B) ist eine obere Schranke für A

(denn dann ist auch die kleinste obere Schranke

kleiner oder gleich sup(B))

Sei also x∈A, damit gilt x≤sup(A) .

Wegen   A ⊆ B folgt x∈B, also x≤sup(B).

Da also für alle x∈A somit x≤sup(B) gilt,

ist sup(B) eine obere Schranke für A.  q.e.d.

Entsprechend für die Infima.

Und bei b etwa so:

Seien  inf(A) ≥ 0 und inf(B) ≥ 0

==>  Für alle a∈A unad b∈B gilt a≥ 0 und b≥ 0.

Es ist zu zeigen  sup(A)*sup(B) ist die kleinste

obere Schranke von C.

erst mal "obere Schranke":

Sei also c ∈ C.  ==>  Es gibt a∈A unad b∈B mit c=a*b   (***)

da  a∈A folgt  a ≤ sup(A) . Und wegen b≥ 0 folgt daraus

                      a*b ≤ sup(A) *b      (*)

entsprechend da  b∈B  folgt   b≤ sup(B) . #

Und wegen inf(A)≥ 0  ist auch  inf(A)  , also folgt

aus # dann      sup(A)* b≤ sup(A) * sup(B) . (**)

(*)  und (**) ergeben zusammen mit (***) dann

  c = a*b  ≤ sup(A) *b  ≤ sup(A) * sup(B)

Also ist in der Tat sup(A) * sup(B) eine obere Schranke für C.

Jetzt noch zeigen: Es ist die kleinste. Geht wohl am besten indirekt:

Angenommenes gäbe ein x in C, also  x=a*b mit a∈A unad b∈B

und    x <  sup(A) * sup(B), also     a*b <  sup(A) * sup(B).

Daraus kann man wohl einen Widerspruch herleiten in

der Art, dass es dann entweder zwischen a und sup(A)

noch ein Element von A oder zwischen b und sup(B)

noch ein El. von B geben muss.