Beweis für Mengen | Supremum und Folgen

Question

Definiere \( M+N:=\{x+y \in \mathbb{R}: x \in M, y \in N\} \) für Mengen \( M, N \subseteq \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass für nach oben beschränkte, nichtleere Mengen \( M, N \)
\( \sup (M+N)=\sup M+\sup N \)
gilt.

Hierzu soll ich folgende infos nutzen:

Zeige (i) sup M + sup N obere Schranke von M+N

      ii) Finde eine folge Z_n ∈ M + N : Z_n -> sup M + sup N

          Z_n = X_n + Y_n

Wie zeige ich jetzt z.B. fürs erste, dass sup M + sup N obere Schranke von M+N ist? Man hat ja keine konkrete Vorschrift oder?

Answer 1

sup M + sup N obere Schranke von M+N

Zeigst du, indem du aus

sup M ≥ m für alle m∈M  und  sup N≥ n für alle n∈N

folgerst  sup M + sup N   ≥ m + n  für alle m∈M , n∈N .

Comments

ja das habe ich auch so aufgeschrieben aber wie genau folgere ich das daraus

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vielleicht so:  sup M ≥ m für alle m∈M

==>   sup M + sup N ≥ m + sup N  für alle m∈M

                              ≥ m + n   für alle m∈M, n∈N.

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ich versuche mich mal, dankesehr

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also meinen sie:

sup M + sup N ≥ m + sup N

sup M + sup N ≥ m + n

? darf ich das so direkt sagen, wenn ja bin ich dann hier fertig für die Obere Schranke?

Wie wähle ich dann die Folge?

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Ich würde das schon etwas weiter ausführen, etwa so:

          sup M ≥ m für alle m∈M
  ==>  sup M + sup N ≥ m + sup N für alle m∈M.

Außerdem gilt sup N ≥ n  für alle n∈N
  ==>  sup M + sup N ≥ m +  n    für alle n∈N und m∈M.

Und für die Folge wählst du in N und M je eine Folge

nach der Methode:

Für jedes x∈ℕ gibt es in dem Intervall ] sup N - 1/x ; sup N [

ein Element von N. Eines davon sei a_x.

Dann konvergiert dei Folge (a_x)_x∈ℕ gegen sup N .

Entsprechend mit bx gegen sup M.

Dann ist die Summe der Folgen eine, deren Glieder

in N+M liegen und die gegen sup M + sup N geht.