Folgen auf Beschränktheit Sup und Inf untersuchen

Question

meine Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die angegebenen Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}} \) beschränkt sind und bestimmen Sie jeweils Supremum und Infimum der Folge.

a) \( a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n} \) für \( n \in \mathbb{N} \)
b) \( a_{n}=\frac{n^{2}-1}{(n+1)^{2}} \) für \( n \in \mathbb{N} \)
c) \( a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1} \) für \( n \in \mathbb{N} \)

Das Problem:

Ich weiß was eine beschränkte Folge ist und auch was das Sup und Inf ist.

Ich habe auch die jeweiligen Lösungen und habe auch unabhängig von den Lösungen bestimmen können ob die Aufgabe beschränkt ist und wo das sup bzw inf liegt, wenn überhaupt eines existiert.

Ich weiß aber nicht wie ich sowas rechnerisch untersuchen kann..

Kann mir eventuell jemand eine Aufgabe einmal vorrechnen, sodass ich sehe wie es eigentlich untersucht werden sollte und die nächsten Aufgaben versuche ich dann nochmal selbst?☺️

Liebe Grüße

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier würde ich eine Fallunterscheidung emfpehlen:$$a_n=\frac{(-1)^n}{n}=\left\{\begin{array}{rl}-\frac1n&\text{falls \(n\) ungerade}\\[1ex]\frac1n &\text{falls \(n\) gerade}\end{array}\right\}\implies\left\{\begin{array}{ll}-1\le a_n<0 & \text{falls \(n\) ungerade}\\[1ex]\phantom{-}0<a_n\le\frac12 & \text{falls \(n\) gerade}\end{array}\right.$$Die Folge \((a_n)\) ist also nach unten und nach oben beschränkt. Das Infimum (größte untere Schranke) und das Supremum (kleinste obere Schranke) werden sogar als Wert angenommen, sodass wir sogar Minimum und Maximum der Folge angeben können.$$-1\le a_n\le\frac12$$

zu b) Hier kannst du den Term für die Folgenglieder etwas umformen$$b_n=\frac{n^2-1}{(n+1)^2}=\frac{(n-1)(n+1)}{(n+1)^2}=\frac{n-1}{n+1}=\frac{n+1-2}{n+1}=1-\frac{2}{n+1}$$Wegen \(n\ge1\) ist also \(0\le b_n<1\). Das Minimum ist \(0\), das Supremum ist \(1\).

zu c) Auch hier hilft wieder eine Umformung weiter:$$c_n=\frac{n^2}{n+1}=\frac{n}{1+\frac1n}$$Die Folgenglieder \((c_n)\) werden unendlich groß, es gibt also kein Supremum. Das Minimum wird für \(n=1\) mit \(c_1=\frac12\) erreicht.

Comments

Hallo:)

Danke für die Antwort.

Wie bist du denn bei a) jetzt auf die Ergebnisse -1 und 1/2 gekommen?

Ich kann das nicht so ganz nachvollziehen

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Bei a) haben wir ja eine Fallunterscheidung gemacht. Das kleinste ungerade \(n\) ist \(n=1\). Dafür erhalten wir:$$a_1=-1$$Das kleinste gerade \(n\) ist \(n=2\), dafür gilt der zweite Fall und wir erhalten:$$a_2=\frac12$$Alle anderen Werte für \(a_n\) liegen dazwischen. Also ist \(-1\le a_n\le\frac12\).

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Dankeschön:))

Ich habe es verstanden:)

Aber ich hätte noch ein paar Fragen wenn es in Ordnung ist?

zu Aufgabe b):

hier schreibst du “wegen \(n\ge1\) …“

aber wieso ist es denn nicht \(n\ge0\)?

Denn so würden wir ja ein ganz anderes Minimum bekommen und das wäre mit n=0 dann -1

Und wieso ist die 1 ein Supremum?

Gilt denn nicht als Bedingung für ein Supremum das die Schranke grösser gleich bn sein muss? Hier ist ja 1 größer und wir haben somit doch nur einen Grenzwert gegen den wir konvergieren oder nicht?

zu Aufgabe c):

Ich verstehe hier leider nicht wie du umgeformt hast..

Ich weiß nicht welche Rechenlücke ich hier habe..

Würdest du mir hier bitte kurz erklären wie du das n^2 umgeformt hast, sodass du auf dieses Ergebnis kommst?

Ohje, so viele Fragen..

Liebe Grüße

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zu b) Die natürlichen Zahlen beginnen bei \(n=1\). Wenn man die Null dazu nehmen möchte, schreibt man sowas wie \(n\in\mathbb N_0\).

zu c) Ich habe Zähler und Nenner durch \(n\) dividiert:$$\frac{n^2}{n+1}=\frac{\cancel n\cdot n}{\cancel n\cdot\left(1+\frac1n\right)}=\frac{n}{1+\frac1n}$$

Answer 2

zu a) Zeige \( \frac{n^2-1}{(n+1)^2} \)≤1

Answer 3

Um zu zeigen, dass z.B. die erste Folge beschränkt ist, musst du erst mal

Schranken erraten. Hier könnte man -1 und 1 nehmen und muss dann zeigen,

dass für alle Folgenglieder gilt

-1 ≤ a_n ≤ 1

bzw. | a_n | ≤ 1

Wegen    | a_n | = 1 / n bleibt also nur zu zeigen   1/n  ≤ 1  für alle \( n \in \mathbb{N} \)

bzw.     1  ≤ n für alle \( n \in \mathbb{N} \)

Und das ist ja klar.

Comments

Ich verstehe das leider noch nicht so ganz :/

Fängt man beim erraten immer bei -1 und 1 an? Oder gibt es da ein bestimmtes System?

Und wieso muss ich denn jetzt | an | = 1 / n zeigen? Wie kommst du denn da drauf?

Und wie untersuche ich es dann auf Supremum und Infimum?

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Fängt man beim erraten immer bei -1 und 1 an? Oder gibt es da ein bestimmtes System?

Meistens ist es klug mal die ersten 10 oder 20 Folgenglieder auszurechnen

um eine Idee zu bekommen.

Und wieso muss ich denn jetzt | an | = 1 / n zeigen? Wie kommst du denn da drauf?

Das musst du nicht zeigen, das ist bei dieser Folge so; denn der Zähler ist ja immer abwechselnd -1 und +1 also der Betrag 1 .

Und wie untersuche ich es dann auf Supremum und Infimum?

Um z.B. zu zeigen, dass 1 das Supremum ist, musst du begründen,

dass 1 eine obere Schranke ist (ist schon geschehen.) und, dass

jede Zahl kleiner 1 KEINE obere Schranke ist .

Sei also C eine Zahl kleiner 1. Dann ist C keine obere Schranke,

da das Folgenglied Nr. 1 den Wert 1 hat, somit größer als C ist.

Also ist 1 die kleinste obere Schranke, also das Supremum.

Answer 4

Was vielleicht gehen würde: du könntest versuchen, den Grenzwert von jeder Aufgabe zu finden, ob du möglicherweise eine Schranke hast. Z.B. habe ich bei a) für n nach unendlich den Grenzwert 0 und somit ist die Folge beschränkt, wobei der Supremum bei a mMn. 1/2 (für n=2) und das Infimum gleich -1 für (n=1) ist. Um festzustellen, wo du eine obere und untere Schranke bei der beschränkten Folge hast, könntest du z.B. eine Falluntersuchung machen mit n=genaue Zahl (n=2k, k aus IN) und mit n=ungerade Zahl (n=2k-1, k aus IN) und dann verschiedene Werte einsetzen und den höchsten und kleinsten Wert von a_n zu finden