Wir kümmern uns mal um das Sup. Wenn das Sup kleiner als 1 wäre, dann gäbe es ein positives d mit
$$\{\sqrt{n} \mid n \in \N\} \cap \bigcup_{k=0}^{\infty}I_k =\emptyset \text{ mit }I_K:=[0.5 \pi+2k\pi-d,0.5\pi+2k\pi+d]$$
In Worten: Die Folge \((\sqrt{n})\) hält sich von potentiellen 1-Stellen des sin fern. Nun ist \((\sqrt{n})\) streng monoton wachsend, außerdem:
$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to 0$$
Sobald also \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<2d\), muss eines der nächsten Folgenglieder in das nächste Intervall \(I_k\) hineintapsen....