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Aufgabe: Sup und Inf einer Sinus Funktion bestimmen

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Text erkannt:

c) \( X=\{\sin (\sqrt{n}) \mid n \in \mathbb{N}\} \).
Tipp: Sie können benutzen, dass \( |\sin (x)-\sin (y)| \leq|x-y| \)


Problem/Ansatz:

… Nun würde ich gerne wissen wie ich die Aufgabe mit dem Tipp löse. Eigentlich wäre für mich klar dass -1 und 1 Inf und Sup sind. Man kann ja einfach eine Zahl n finden die auf -1 bzw. 1 geschickt wird und da die Sinusfunktion nur Funktionswert in [-1, 1] hat wäre die Sache gegessen. Nun verstehe ich aber den Lösungswg mit dem Tipp nicht. Einige Hinweise vielleicht? Edit: okay da n in N wäre das Infimum doch nicht so leicht

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3 Antworten

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Wir kümmern uns mal um das Sup. Wenn das Sup kleiner als 1 wäre, dann gäbe es ein positives d mit

$$\{\sqrt{n} \mid n \in \N\} \cap \bigcup_{k=0}^{\infty}I_k =\emptyset \text{  mit }I_K:=[0.5 \pi+2k\pi-d,0.5\pi+2k\pi+d]$$

In Worten: Die Folge \((\sqrt{n})\) hält sich von potentiellen 1-Stellen des sin fern. Nun ist \((\sqrt{n})\) streng monoton wachsend, außerdem:

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to 0$$

Sobald also \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<2d\), muss eines der nächsten Folgenglieder in das nächste Intervall \(I_k\) hineintapsen....

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Hast du das mal im Koordinatensys6em dargestellt?

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Avatar von 123 k 🚀

Was ist damit bewiesen?

Das ist wieder so ein Aufgabe, wo man sich fragt: Wie gehe ich das an?

Ohne zündende Idee ist man aufgeschmissen, während die Profis müde lächeln.

Was ist damit bewiesen?

Interessante Frage! Der Plot beschreibt, dass die Aussage des Fragers

Eigentlich wäre für mich klar dass -1 und 1 Inf und Sup sind. Man kann ja einfach eine Zahl n finden die auf -1 bzw. 1 geschickt wird und da die Sinusfunktion nur Funktionswert in [-1, 1] hat wäre die Sache gegessen.

richtig und falsch zugleich ist. Sie ist richtig, was die zu erwartenden Ergebnisse betrifft, und sie ist falsch, weil die Hoffnung auf ein passenden n trügt.

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Man will vermutlich darauf hinaus, dass die Differenz \( \sqrt{n+1}- \sqrt{n}\) für wachsende n gegen 0 geht und damit \(| sin(\sqrt{n+1})- sin(\sqrt{n})|\)  erst recht gegen 0 geht. Die Sinuswerte werden also "immer dichter".

Avatar von 55 k 🚀

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