Wie bestimmt man Sup und Inf einer Sinusfunktion?

Question

Aufgabe: Sup und Inf einer Sinus Funktion bestimmen

Text erkannt:

c) $X=\{\sin (\sqrt{n}) \mid n \in \mathbb{N}\}$.
Tipp: Sie können benutzen, dass $|\sin (x)-\sin (y)| \leq|x-y|$

Problem/Ansatz:

… Nun würde ich gerne wissen wie ich die Aufgabe mit dem Tipp löse. Eigentlich wäre für mich klar dass -1 und 1 Inf und Sup sind. Man kann ja einfach eine Zahl n finden die auf -1 bzw. 1 geschickt wird und da die Sinusfunktion nur Funktionswert in [-1, 1] hat wäre die Sache gegessen. Nun verstehe ich aber den Lösungswg mit dem Tipp nicht. Einige Hinweise vielleicht? Edit: okay da n in N wäre das Infimum doch nicht so leicht

Answer 1

Wir kümmern uns mal um das Sup. Wenn das Sup kleiner als 1 wäre, dann gäbe es ein positives d mit

$$\{\sqrt{n} \mid n \in \N\} \cap \bigcup_{k=0}^{\infty}I_k =\emptyset \text{ mit }I_K:=[0.5 \pi+2k\pi-d,0.5\pi+2k\pi+d]$$

In Worten: Die Folge $(\sqrt{n})$ hält sich von potentiellen 1-Stellen des sin fern. Nun ist $(\sqrt{n})$ streng monoton wachsend, außerdem:

$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \to 0$$

Sobald also $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<2d$, muss eines der nächsten Folgenglieder in das nächste Intervall $I_k$ hineintapsen....

Answer 2

Hast du das mal im Koordinatensys6em dargestellt?

Comments

Was ist damit bewiesen?

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Das ist wieder so ein Aufgabe, wo man sich fragt: Wie gehe ich das an?

Ohne zündende Idee ist man aufgeschmissen, während die Profis müde lächeln.

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Was ist damit bewiesen?

Interessante Frage! Der Plot beschreibt, dass die Aussage des Fragers

Eigentlich wäre für mich klar dass -1 und 1 Inf und Sup sind. Man kann ja einfach eine Zahl n finden die auf -1 bzw. 1 geschickt wird und da die Sinusfunktion nur Funktionswert in [-1, 1] hat wäre die Sache gegessen.

richtig und falsch zugleich ist. Sie ist richtig, was die zu erwartenden Ergebnisse betrifft, und sie ist falsch, weil die Hoffnung auf ein passenden n trügt.

Answer 3

Man will vermutlich darauf hinaus, dass die Differenz $\sqrt{n+1}- \sqrt{n}$ für wachsende n gegen 0 geht und damit $| sin(\sqrt{n+1})- sin(\sqrt{n})|$  erst recht gegen 0 geht. Die Sinuswerte werden also "immer dichter".