Bestimme ob die Funktion beschränkt ist und min f(x), max f(x), sup f(x) und inf f(x) existieren!

Question

Aufgabe:

Ist $$ f: [ 0, \infty [  \to \mathbb{R}, f(x) = xe^{-x} $$ beschränkt?

Bestimme ( falls existent ) $$ sup (f(x)), inf (f(x)), max (f(x)), min (f(x)) $$

Problem/Ansatz:

Hab mir die Funktion mit symbolab angeschaut. Im Forum hab ich gelesen, dass Supremum und Infimum nicht Bestandteil der Menge sein müssen. Minimum und Maximum hingegen schon.

Liege ich richtig, dass $$ sup f(x)=0, inf f(x)=1 $$ ist, $$ min f(x) = 0 $$ ?

Bei $$ max f(x) $$ würd ich sagen $$ 1/e $$ ... no guarantee

Answer 1

die Funktion startet bei f(0)=0, verläuft zunächst monoton steigend bis zum lokalen Maximum (1,1/e). Danach verläuft die Funktion monoton fallend mit lim x--> oo f(x)=0. Damit stimmen deine Angaben. Das lokale Maximum ist auch das globale Maximum. 0 wäre hier Randminimum. Supremum/Infimum fallen natürlich mit dem Maximum/Minimum zusammen

Comments

Ich bin euch dankbar, wenn ihr mir kurz erklärt, wie ich händisch auf das Maximum komme.

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Die erste Ableitung lautet

f'(x)= e^{-x} - xe^{-x}

=(1-x)e^{-x}

Deren einzige Nullstelle liegt bei x=1

( e^{-x} wird nie 0}

Zweite Ableitung lautet

f''(x) = -e^{-x} -(1-x)e^{-x}

f''(1) =-e^{-1}<0 , damit lokales Maximum

f(1)=1/e

Answer 2

min(f(x)) und max(f(x)) hast du richtig.

Die erste Ableitung (1-x)/ex hat genau eine Nullstelle bei x=1; f(1)=1/e. (1|1/e) ist globales Maximum.