Zeigen Sie, dass dann die Menge M' := {x ∈ R | 1/x ∈ M} nach oben beschränkt ist und dass gilt: sup M' = 1/inf M

Question

Aufgabe:

"Es sei M ⊆ R eine nichtleere, nach unten beschränkte Menge mit inf M > 0. Zeigen Sie, dass dann die Menge M' := {x ∈ R | 1/x ∈ M} nach oben beschränkt ist und dass gilt: sup M' = 1/inf M"

Problem/Ansatz:

Als Hinweis gibt es dazu Folgendes:

"Machen Sie sich klar, wie die Menge M' aus der Menge M ”entsteht“ (und auch umgekehrt,
wie M aus M' entsteht), und dass M' ebenfalls nur aus positiven Zahlen besteht. Dann
sollte auch die Gleichung sup M' =1/inf M ”klar“ sein."

Wir (ein Kommilitone und ich) stehen dabei allerdings komplett auf dem Schlauch, haben noch nicht mal einen wirklichen Ansatz. Normalerweise stelle ich solche Fragen auch nicht online in Foren oÄ, diesmal wäre es allerdings wirklich dringend, weshalb ich mich jetzt doch dazu durchgerungen habe, es mal hier einzustellen. Vielleicht kann uns ja jemand helfen.

Answer 1

sei M ⊆ R eine nichtleere, nach unten beschränkte Menge mit inf M > 0.

==>    inf M ist eine untere Schranke

==>   ∀x∈M   x ≥  inf M     > 0

also sind inf M und alle x∈M positiv und man

kann die Ungleichung x ≥  inf M durch inf M dividieren zu

       <=>           x / inf M   ≥  1    | : x

            <=>     1/ inf M   ≥  1  / x

Damit sind die Elemente von M ' alle ≤ 1 / inf M und somit

           1 / inf M eine obere Schranke für M ' .

        ==>   M ' nach oben beschränkt.

Und um zu zeigen, dass 1/ inf M die kleinste obere

Schranke für M ' ist ( also = sup M ' )  nehmen wir an,

es gäbe eine kleinere obere Schranke für M ', nennen wir sie z.

Da alle Elemente von M positiv sind ( s.o.) , gilt dies

auch für M ' ; denn das sind ja die Kehrwerte der

Elemente von M. Also ist auch z positiv.

Und weil z eine obere Schranke für M ' ist und z < 1/ inf M

gilt für alle y ∈ M ' :            1/ inf M > z  ≥   y   #

Für jedes y ∈ M ' gibt es nach Def. ein x ∈ M mit y = 1/x

und umgekehrt entspricht jedem x x ∈ M auch ein

y ∈ M '   mit y = 1/x.

Also kann man # auch so formulieren

 Für alle   x ∈ M :       1/ inf M > z ≥  y  1/x

Da alles positiv ist folgt

                                        inf M  <  1/z  ≤ x

also wäre 1/z eine untere Schranke für M, die größer

als inf M ist. Widerspruch, denn inf M ist die größte

untere Schranke.

Comments

Wow, danke dir für die sehr ausführliche Antwort.