Wie berechnet man 0/0 ohne l'hospital, wenn der Term keine (bekannte) Reihe enthält?

Question

Aufgabe:

Berechne Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion \( g(x)=\exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right) \) für \( x \neq 0, \) und überprüfe, dass \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=0 \) und \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} g^{\prime \prime}(x)=0 \).

Hinweis für \( x \rightarrow 0 \) : Substitution \( y=\frac{1}{x} \). Die Exponentialfunktion gewinnt immer gegenüber Polynomfunktionen.

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man 0/0 ohne l'hospital, wenn der Term keine (bekannte) Reihe enthält?

Die zwei Ableitungen habe ich ausgerechnet, jedoch ergibt sie in beiden Fällen ein 0/0. Wenn ich versuche, einen der Terme mit L'Hospital zu lösen, kommen nur immer weitere Verzweigungen rein wegen dem e^1/x^2.

Ich habe überlegt, eine Taylor-Reihe aus dem zu machen für a=0, weil ich mir erhoffe, dass da beim ersten Glied 0 rauskommt und somit der Gesamtterm 0 ergibt, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich das darf.

Answer 1

Text erkannt:

\( \left[e^{-\frac{1}{x^{2}}}\right] \cdot=e^{-\frac{1}{x^{2}}} \)
Zwischenrechnung:
\( \left[-\frac{1}{x^{2}}\right] \cdot=-\frac{0 \cdot x^{2}-1 \cdot 2 x}{x^{4}}=\frac{2 x}{x^{4}}=\frac{2}{x^{3}} \)
Ergebniszeile:
\( \left[e^{-\frac{1}{x^{2}}}\right] \cdot=e^{-\frac{1}{x^{2}}} \cdot \frac{2}{x^{3}}=\frac{2 \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} \)
Substitution \( \frac{1}{x}=y \rightarrow \frac{1}{x^{2}}=y^{2} \) wie auch \( \frac{1}{x^{3}}=y^{3} \) und demnach \( x^{3}=\frac{1}{y^{3}} \)
\( \frac{2 \cdot e^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} \rightarrow \frac{2 \cdot e^{-y^{2}}}{\frac{1}{y^{3}}}=\left(2 \cdot e^{-y^{2}}\right) \cdot y^{3} \)
$$ \lim \limits_{y \rightarrow 0}\left(2 \cdot e^{-y^{2}}\right) \cdot y^{3} \rightarrow 0 $$

mfG

Moliets

Answer 2

f ' (x) = 2 *x^(-3) * e ^( -1/x^2)  .  Folge dem Tipp und substituiere y=1/x

also f ' (y) = 2y^3 * e^(-y^2) und betrachte das für x→∞.

Wegen "Die Exponentialfunktion gewinnt immer gegenüber Polynomfunktionen..."

ist also der Grenzwert 0.