Berechnen Sie die Funktionsgrenzwerte (ohne die bereits aus der Schule bekannte Regel von l'Hospital zu verwenden)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Funktionsgrenzwerte (ohne die eventuell bereits aus der Schule bekannte Regel von l'Hospital zu verwenden):

(a) \( \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-5}{2 x^{2}+2 x-1} \)

(b) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}-5}{2 x^{2}+2 x-1} \)

(c) \( \lim \limits_{x \rightarrow-1}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{x^{2}+2}{x^{3}+4 x^{2}+8 x+5}\right) \)

(d) \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2-x^{2}}-\sqrt{2+x^{2}}}{x^{2}-x} \)

(e) \( \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{4 x^{4}+1}}{\sqrt[3]{27 x^{6}+8}} \)

Answer 1

a) Setze ein

(1^2 - 5)/(2·1^2 + 2·1 - 1) = - 4/3

b) Kürze z.B. geschickt

(x^2 - 5)/(2·x^2 + 2·x - 1) = (1 - 5/x^2)/(2 + 2/x - 1/x^2)

Dann kann man den Grenzwert bei 1/2 ablesen.

c) Bringe auf einen Bruch

d) Kürze mit x

(√(2 - x^2) - √(2 + x^2)) / (x^2 - x) = (√(2/x^2 - 1) - √(2/x^2 + 1))/(x - 1)

e) Kürze mit x^2

(4·x^4 + 1)^{1/2} / (27·x^6 + 8)^{1/3} = (4 + 1/x^4)^{1/2} / (27 + 8/x^6)^{1/3}