Berechnen Sie ohne Taschenrechner die Grenzwerte (wenn möglich die Regel nach L'Hopital verwenden)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie ohne Taschenrechner die Grenzwerte (wenn möglich bitte die Regel nach L'Hopital verwenden)

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \, \frac{x+1}{\ln (x)} \)

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow 0} \, \frac{x}{1-3^{x}} \)

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow \infty} \, x^{-x} \)

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow 1} \, \frac{(1-x)^{2}}{x^{2}-1} \)

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow 0} \, x^{2} \ln (x) \)

\(\displaystyle \lim \limits_{x \rightarrow-\infty} \, x \cdot e^{x} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe leider gar keine Ahnung, wie man da ohne Taschenrechner ran geht. Bin für jede Hilfe dankbar!

Comments

Du hast die Aufgabe dreimal aufgeschrieben. Ich habe zwei Drittel gelöscht.

Answer 1

1.(x+1)/lnx -> 1/(1/x) = x -> lim = +oo für x gg.oo

oder einfacher: x wächst schneller als lnx -> lim = +oo

2. x/(1-3^x) -> 1/(- 3^x*ln3) -> lim= -1/ln3

3. x^-x = 1/x^x -> lim = 0

4. (1-x)^2/(x^2-1) -> (2*(1-x)*(-1))/2x = (-2+2x)/2x `= 0/2 = 0 für x-> 1

5. x*e^x = x/(e^-x) -> 1/(-e^-x) = -1/e^-x = 0 für x->-oo

Comments

Und wieder mal verhindert ein "Ich-will-Monatsbester-werden"-Streber, dass ein Fragesteller selbst tätig werden muss.

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vielen Dank für die schnelle Antwort. Habe ich das so richtig geschrieben?

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Und wieder mal verhindert ein "Ich-will-Monatsbester-werden"-Streber,

Woher wollen Sie das wissen?

Jedes Geld von hier spende ich für einen guten Zweck und bester will ich auch nicht werden. Muss ich die Spendenquittung vorlegen?

Ich bin auf diese Einnahme wirklich nicht angewiesen trotz Hochinflation.

Ich bin es zufällig zum 2.Mal geworden, bald wird es wieder ein anderer sein.

Ich versuche nur im Rahmen meiner Möglichkeiten zu helfen oder zu ergänzen,

nicht mehr oder weniger auf Gründen, die niemanden etwas angehen.

Dasselbe können Sie Mathecoach und anderen auch vorwerfen,

die noch klarere und didaktisch tolle Lösungen liefern, was hier nicht ausdrücklich verboten ist, soweit ich weiß.

Auch Lösungen sind hilfreich, wenn man darüber nachdenkt.

Wer es nicht tut oder nicht nachfragt, will ohnehin nichts dazulernen.

Die Folgen muss jeder selber tragen.

Apropos STREBER:

Sie waren sicher in Mathe immer ein erfolgreicher Superstreber

und scheinen mit Mathe in "Bigamie" oder gar "Monogamie" zu leben.

Jedem seine Liason(en)!

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vielen Dank für die schnelle Antwort. Habe ich das so richtig geschrieben?

Nein, da ist vieles formal falsch, und im Einzelfall hast du nicht einmal die vorgesagte Lösung von ggT richtig abgeschrieben.

@ggT: Da da dich so intensiv mit einer Komplettlösung vorgedrängelt hast, könntest du dich bitte auch im Nachgang um den Fragesteller kümmern.

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Ich glaube bei der letzten Aufgabe ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen. Wenn man x nach -unendlich laufen lässt, nachdem du den Bruch "x/e^(-x)" gerechnet hast, bekommt man dann -oo/oo ,wodurch die Bedingung von l'Hôspital nicht erfüllt wurde, auch wenn dein Grenzwert richtig ist. Man könnte zeigen, dass e^x monoton schneller fällt als x und einen Bruch "erfinden", indem man die Funktion mal und durch e^x nimmt, sodass man bekommt:

x*e^(2x)/e^x

Dafür ist x nach -unendlich 0/0 und man kann dann l'Hôspital verwenden, und dann Zähler durch Nenner mittels e-Regeln rechnen und dann x nach -unendlich laufen lassen, wodurch man dann 0 bekommt.

Answer 2

Ich habe leider gar keine Ahnung, wie man da ohne Taschenrechner ran geht.

Im Text steht, dass du die Regel von L'Hospital verwenden sollst. Funktionen wie f(x)=x+1 und g(x)=ln(x) kannst du bestimmt ableiten, oder?

e) und f kannst du auch in die dafür erforderliche Quotientenform bringen, indem du z.B. x²·ln(x) entweder als \( \frac{x^2}{\frac{1}{ln(x)}} \) oder als \( \frac{ln(x)}{\frac{1}{x^2}} \) schreibst.

Bei d) kannst du vorher noch den Nenner mit einer binomischen Formel faktorisieren und anschließend den Bruch kürzen.

Answer 3

Beachte:

die L'Hôspital-Regel kannst du nur verwenden, wenn die Funktion in Gestalt eines Bruches steht und wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen 0 oder unendlich gehen, falls du x gegen den Wert nach dem Pfeil bzw. (-)unendlich laufen lässt. Wenn die Funktion nicht in Bruch angegeben ist, musst du die Funktion in einen Bruch umwandeln. Nach der Regel leitest du dann jeweils denn Zähler und den Nenner ab und wenn es immer noch nicht klappt, dann wieder die Regel verwenden.

Comments

Meinen Lösungsvorschlag werde ich gleich hier aufschreiben.

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1) kein Grenzwert, einfach l'Hôspital verwenden, dann siehst du es.

2) für x nach 0 steht da 0/0, heißt l'Hôspital verwenden, aber 3^x zu e^(ln(3^x)) umwandeln und x als Produkt und Exponentrausziehen, dann ableiten. Dann sollte 1/-ln(3) als Grenzwert stehen.

3) brauchst eigentlich kein L'Hôspital verwenden, wegen negativem Exponenten und Bruchgesetz weißt du, dass es 0 ist.

4) 0/0, vorher den Zähler mittels 2. binomische Regel rechnen, dann l'Hôspital. Bei mir kommt 0 raus.

5) Ziehe x^2 als Exponent von x in ln(x) nach der ln-Regel a*ln(b)=ln(b^a) ein und lasse x nach 0 gehen, dann solltest du ln(1) und somit 0 bekommen.

6) Siehe meinen Kommentar unter der Antwort von ggT22.

Falls etwas falsch ist, bitte korrigieren.