Berechne den Grenzwert ohne die Regel von l`Hospital zu verwenden

Question

$$ \underset { x\xrightarrow [  ]{  } 1 }{ lim } =\frac { ({ x }^{ 2 }+x-2{ ) }^{ 20 } }{ ({ x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-5x+3{ ) }^{ 10 } } \\ $$

wenn ich eins einsetze kommt ja 0/0 raus damit kann ich aber nicht wirklich was anfangen.

Mir fehlt ein geeigneter Ansatz und die hoch 20 und hoch 10 verwirren mich dazu noch.

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Answer 1

Der Bruchterm lässt sich Umformen in ((x+2)²/((x+3)³)(x-1)⁴)))¹⁰ Hier kommt x-1 nur noch im Nenner vor. Der Grenzwert für x gegen 1 ist also nicht existent, weil nicht endlich.

Comments

Der Grenzwert für x gegen 1 ist also nicht existent

Da wird sich die Zahl  ( 81 / 16 )⁵  aber schwer beleidigt fühlen.

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Entschuldigung, meine Antwort ging von einer falschen Umformung aus. Richtig wäre (x+2)²⁰/(x+3)¹⁰ Hier kommt x-1 gar nicht vor. Der Grenzwert steht also schon da, wenn man 1 einsetzt.

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Vielen dank für die Antwort. ich kann aber leider noch nicht ganz nachvollziehen wie man auf (x+2)²⁰/(x+3)¹⁰kommt

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Lassen wir zunächst die Exponenten 10 und 20 weg. dann kann man x²+x-2 in Linearfaktoren zerlegen (mit Hilfe der Nullstellen entweder über pq-Formel oder über Satz von Vieta). Dann stellt man fest x²+x-2=(x+2)(x-1). Danach kann man schauen ob einer der beiden Linearfaktoren auch in x³+x²-5x+3 steckt (mit Hilfe von Polynomdivision). Dann stellt man fest x³+x²-5x+3= (x-1)(x²+2x-3). Den quadratischen Faktor kann man noch weiter zerlegen (s.o.). x²+2x-3=(x-1)(x+3). Insgesamt ist also ( x²+x-2)²⁰/(x³+x²-5x+3)¹⁰= [(x-1)(x+2)]²⁰/ [(x-1)²(x+3)]¹⁰. Nach etwas Potenzrechnung wird daraus (x+2)²⁰/(x+3)¹⁰.

Answer 2

Wende den Euklidischen Algorithmus für $$x^3+x^2-5x+3 \text{ und } x^2+x-2$$ an