Berechen Sie folgenden Grenzwert, ohne die Regel von l´Hopital zu verwenden.

Question

ich weiß bei der der i einfach nicht weiter. Eventuell für tan=sin/cos einsetzen, dann den sinus rauskürzen und dann??? L.g

Answer 1

$$ \frac{\tan x- \sin x}{\sin^3 x} $$
$$ \frac{\frac{\sin x}{\cos  x}- \sin x}{\sin^3 x} $$
$$ \frac{\sin x ( \frac{1}{\cos  x}- 1)}{\sin^2 x \cdot \sin x} $$
$$ \frac{ \frac{1}{\cos  x}- 1}{\sin^2 x } $$
$$ \frac{ \frac{1 - \cos  x}{\cos  x}}{1- \cos^2 x } $$
$$\frac{1 }{\cos  x} \cdot \frac{ 1 - \cos  x}{(1- \cos x )(1+ \cos x )} $$
$$\frac{1 }{\cos  x} \cdot \frac{ 1 }{1+ \cos x } $$
$$\cos (0)= 1$$
$$\frac{1 }{1} \cdot \frac{ 1 }{1+ 1 } $$

Comments

Fehlt nicht in der ersten Zeile das Lim, oder denke ich falsch?

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Das gelimse habe ich aus Bequemlichkeit nicht mitgetippt - es ändert nichts an dem Lösungsweg.

Es fehlt nicht nur in der ersten Zeile, sondern durchgehend und ich gehe davon aus, dass der Fragesteller beim Abschreiben der Lösung für seine Hausaufgaben das lim dazusetzt.

Answer 2

Berechen Sie folgenden Grenzwert, ohne die Regel von l´Hopital zu verwenden.

b) i)

Answer 3

(TAN(x) - SIN(x)) / SIN(x)^3

mit TAN(x) = SIN(x) / COS(x)

= (SIN(x)/COS(x) - SIN(x))/SIN(x)^3

= (1 - COS(x)) / (SIN(x)^2·COS(x))

= (1 - COS(x)) / ((1 - COS(x)^2)·COS(x))

= (1 - COS(x)) / ((1 + COS(x))·(1 - COS(x))·COS(x))

= 1 / ((1 + COS(x))·COS(x))

lim x --> 0

= 1/2

Comments

(x^2 + x - 2)^20 / (x^3 + x^2 - 5·x + 3)^10

= ((x - 1)·(x + 2))^20 / ((x + 3)·(x - 1)^2)^10

= (x - 1)^20·(x + 2)^20 / ((x + 3)^10·(x - 1)^20)

= (x + 2)^20 / (x + 3)^10

lim x --> 1

= (1 + 2)^20 / (1 + 3)^10

= 3^20 / 4^10

= 3^20 / 2^20

= (3/2)^20