Grenzwert ohne L´Hopital

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^{3}}\right) \)

Problem/Ansatz:

Habe Probleme die Aufgabe zu lösen, da ich kein L´Hopital verwenden darf. Ich habe es auf den selben Nenner gebracht, weiter vereinfacht, allerdings ergibt der Nenner immer wieder 0. Habe versucht den Zähler (nachdem ich den Bruch auf den selben Nenner gebracht habe)  in Linearfaktoren zu umzuwandeln. Anschließend lässt sich das (2-x) wegkürzen, jedoch bringt es mich nicht weiter, weil der Nenner immer noch 0 ergibt, wenn ich 2 einsetze.

Irgendwelche Ansätze ?

Vielen Dank im Voraus !

Comments

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kannst Du im Zähler sogar (x-2)^2 kürzen.

Answer 1

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x}*\left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^{3}}\right) \)

\( \frac{1}{x}*(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}) \)=

Einschub: \(8-x^3=(2-x)*(x^2+2x+4)\)

=\( \frac{1}{x}*(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{(2-x)*(x^2+2x+4)}) \)=

=\( \frac{1}{x}*(\frac{x^2+2x+4}{(2-x)*(x^2+2x+4)}-\frac{12}{(2-x)*(x^2+2x+4)}) \)=

=\( \frac{1}{x}*(\frac{x^2+2x-8}{(2-x)*(x^2+2x+4)})\)=

=\( \frac{1}{x}*(\frac{(x+4)*(x-2)}{(2-x)*(x^2+2x+4)})\)=

=\( \frac{1}{x}*(-\frac{(x+4)*(2-x)}{(2-x)*(x^2+2x+4)})\)=

=\( \frac{1}{x}*(-\frac{(x+4)}{(x^2+2x+4)})\)=

=\( (-\frac{(x+4)}{(x^3+2x^2+4x)})\)=

\(x=2\)

\( (-\frac{(2+4)}{(2^3+2*2^2+4*2)})\)=  \( (-\frac{(6)}{(8+8+8)})\)=\( (-\frac{(6)}{24)})\)=

\( (-\frac{1}{4)})\)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x}*\left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^{3}}\right)=-\frac{1}{4} \)

                           

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort !

Habe jedoch eine kleine Frage bezüglich der Linearfaktoren. Den Teil mit (2-x) verstehe ich, aber woher kommt der (x^2+2x+4) Teil ? Ich würde gerne wissen wie man diesen Teil berechnet. So wie ich es gelernt habe, muss man für die Linearfaktorzerlegung die Nullstellen kennen. Daher verstehe ich den (2-x) Teil, aber nicht woher die nachfolgende Klammer kommt.

---

Das geht mit der Polynomdivision:

(8-x^3):(2-x)=4+2x+x^2

-(8-4x)

-------------

   4x-x^3

 -(4x-2x^2)

----------------

        2x^2-x^3

     -(2x^2-x^3)

---------------------------

       0

Answer 2

Hallo

wenn du 2-x kürzen kannst für alle x≠2 dann ist der GW der gekürzte Ausdruck, ich hoffe der gemeinsame Nenner war 8-x^3

Gruß lul