Grenzwert einer Folge bestimmen ohne zu berechnen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gib den Grenzwert g für \( \mathrm{n} \rightarrow \infty \) zuerst ohne zu rechnen an. Überprüfe deine Vermutung anschließend mithilfe der Grenzwertsätze.
a) \( a_{n}=\frac{n+4}{n^{2}-8} \)
b) \( a_{n}=\frac{8 n^{6}+12}{n^{6}+3 n-5} \)
c) \( a_{n}=\frac{7 n^{6}+n^{2}-13}{n^{5}-n-2} \)
d) \( a_{n}=\frac{3+7 n}{4 n^{4}-11} \)

Problem/Ansatz:

Hallo ,
mein Lehrer hat neulich einen Trick erwähnt, um den Grenzwert einer Folge direkt ablesen zu können. Wenn ich mich recht erinnere, hat er dabei immer die Hochzahlen/Exponenten angeschaut.
Wisst ihr vielleicht, was er damit gemeint haben könnte?

Comments

Faustformel bei solchen Aufgaben: Bruch mit der höchsten vorkommneden Potenz kürzen oder diese vorher ausklammern und dann mit ihr kürzen.

Hier kann man jeden Grenzwert sofort erkennen.

Answer 1

Schau dir die höchsten Potenzen von n im Zähler und Nenner und die Leitkoeffizienten an.

Zählergrad > Nennergrad → die Folge divergiert

Zählergrad = Nennergrad → die Folge konvergiert gegen Leitkoeffizient im Zähler durch Leitkoeffizient im Nenner

Zählergrad < Nennergrad → die Folge konvergiert gegen 0

Comments

a) Grenzwert 0

b) Grenzwert 9

c) divergiert

d) Grenzwert 0

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Wenn die Folge divergiert heißt es geht der gegen ∞ ?

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Gegen + ∞ oder gegen - ∞. Beides ist möglich. Das hängt auch von den Leitkoeffizienten ab.

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Was ist ein Leitkoeffizienten :( ?

Ist vielleicht der Zahl  vor höchsten Potenz? Kann es mehrerer Leitkoeffizienten geben?

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Ist vielleicht der Zahl vor höchsten Potenz?

Ja

Kann es mehrerer Leitkoeffizienten geben?

Nein. Es gibt ja nur eine höchsten Exponenten.

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom