Wie kann ich beweisen, dass der Grenzwert einer echt-gebrochenen Funktion / bzw einer Folge immer 0 ist?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich beweisen, dass der Grenzwert einer echt-gebrochenen Funktion / bzw. einer Folge immer 0 ist?

Problem/Ansatz:

Mir ist bekannt, dass wenn der Nenner einen echt größeren Grad hat, die Folge immer gegen Null konvergiert, doch wie soll man das beweisen?

Könnte man beispielsweise den kleinstmöglichen Fall x/x²  hernehmen und dann mittels Induktion einen Beweis führen?

Answer 1

Du klammerst die Höchste Potenz von x im Nenner aus und kurze die Potenz dann

(ax^2 + bx + c) / (dx^3 + ex^2 + fx + g)

= x^3·(a/x + b/x^2 + c/x^3) / (x^3·(d + e/x + f/x^2 + g/x^3))

= (a/x + b/x^2 + c/x^3) / (d + e/x + f/x^2 + g/x^3)

Für n → unendlich erhält man jetzt nach den Grenzwertsätzen

= (0 + 0 + 0) / (d + 0 + 0 + 0)

= 0 / d

= 0

Comments

Also wenn ich das für den kleinstmöglichen Fall (x/x²) mache, gilt das als Beweis für alle anderen möglichen Folgen die echt-gebrochen sind?

---

Nein. Du musst es schon allgemein zeigen als an einem ganz konkreten Beispiel.

---

Aber konkreter als (x/x2) kann es doch nicht werden?

---

eben und du darfst es NICHT an einem konkreten beispiel zeigen.

---

es zerreißt mich :.(

---

Warum? Schau dir mein Beispiel an. Das ist zwar auch noch konkret aber du siehst das alle kleineren Potenzen von x automatisch später gegen 0 gehen wenn du durch die Höchste Potenz kürzt. Damit bleibt im Nenner immer nur noch ein Konstanter wert und im Zähler bleibt der Grenzwert 0.

---

Erstens kann man nicht davon ausgehen, dass sich Zähler oder Nenner als Polynome darstellen lassen und zweitens ist die Behauptung falsch.

---

Dann müsste geklärt werden, wenn man von einer echt-gebrochenen Funktion spricht.

Ich dachte, das ist immer der Fall, wenn Zähler und Nenner ganzrationale Funktionen sind und der Zählergrad kleiner gleich dem Nennergrad ist.

---

Dann soll es so sein.