Ableitung einer gebrochenen e-Funktion

Question

:D

Wir haben über die Ferien einige Aufgaben zum Thema Analysis bekommen. Nun komme ich bei einer Aufgabe nicht weiter und ich würde mich freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. Darum gehts:

Zeigen Sie, dass $$F(x)=-\frac { 20(x+2+{ e }^{ 0,5x }) }{ { e }^{ 0,5x } }$$

eine Stammfunktion von $$f(x)=10x{ e }^{ 0,5x }$$ ist.

Das Integrieren der Funktion empfand ich als zu schwierig, weshalb ich mich für das Ableiten entschied. Folgendermaßen bin ich vorgegangen:

1. Umschreiben: $$F(x)=-{ e }^{ -0,5x }(20x+40+20{ e }^{ 0,5x })$$ 2. Ableiten mit Produkt und Kettenregel: $$F'(x)=-{ e }^{ -0,5x }(20+\frac { { 20e }^{ 0,5x } }{ 2 } )+(20x+40+{ 20e }^{ 0,5x })\frac { { e }^{ 0,5x } }{ 2 } $$ So und genau an diesem Punkt komme ich nicht weiter. In früheren Aufgaben konnte ich immer etwas zusammenfassen, ist leider hier nicht der Fall. Wie gehe ich jetzt weiter vor und habe ich bis jetzt überhaupt alles richtig berechnet?

für Eure Hilfe!

Kreeper110

Comments

Leider hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen.. Punkt 2 lautet korrekt abgeleitet: $$F'(x)=-{ e }^{ -0,5x }(20+\frac { { 20e }^{ 0,5x } }{ 2 } )+(20x+40+{ 20e }^{ 0,5x })\frac { { e }^{ -0,5x } }{ 2 }$$

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Lass doch mal die -20 außen vor und leite nach der Quotientenregel ab.

Answer 1

du kannst den zweiten Term ja durch 2 teilen, da alle Summanden in der Klammer gerade Faktoren besitzen.

Dann klammerst du nur noch e^{-0,5x} aus und fässt dann suksessive zusammen.

EDIT : Und da du hier ein Produkt als Ableitungsergebnis hast, wäre die Methode zum Integrieren die partielle Integration.