Folge grenzwert bestimmen gegen + unendlich

Question

a_n=\(\prod_{k=1}^n \frac{2}{k} \)

c) Berechnen Sie lim n→∞a_n, falls dieser existiert

Problem/Ansatz:

a_n=\( \frac{2^n}{n!} \) ist konvergent, da monoton fallend und beschränkt.

aber wie kann ich jetzt den grenzwert berechnen?

habs mal versucht aufzuschreiben und am ende sieht man halt dass das letzte glied gegen 0 geht und somit alles gegen 0 geht.  würde das ausreichen als begründung?

\( \frac{2n}{n!} \) = \( \frac{2}{1} \) * \( \frac{2}{2} \) * ... * \( \frac{2}{(n-1)} \) * \( \frac{2}{n} \)

Answer 1

Falls ihr schon Reihen gehabt habt, kannst du hier das Quotientenkriterium anwenden:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac 2{n+1}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0$$

Damit ist sogar die Reihe \(\sum_{n\in\mathbb N}a_n\) konvergent und somit ist \((a_n)\) eine Nullfolge.

Du kannst aber auch "zu Fuß" argumentieren:

Für \(k\geq 4\) gilt \(\frac 2k \leq \frac 12\). Also gilt

\(n\geq 4 \Rightarrow a_n =\prod_{k=1}^{n}\frac 2k = \frac{2^3}{3!}\prod_{k=\color{blue}{4}}^{n}\frac 2k\leq \frac 43 \cdot \frac 1{2^{n-3}}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}0\)