Beweisen, dass Folge bestimmt gegen unendlich divergiert

Question

Weiß hier jemand, wie man zeigt, dass

\( lim_{k \to \infty}  \frac{k^{2k}}{3^{k}k!} = \infty \)

?

Comments

Weißt du, dass n^n≥n! für alle n∈ℕ?

---

Ja, aber hänge trotz dieses Wissens fest

---

Dann vielleicht so:$$\frac{k^{2k}}{3^k\cdot k!}=\frac{k^k\cdot k^k}{3^k\cdot k!}\ge\frac{k^k\cdot k!}{3^k\cdot k!}=\left(\frac k3\right)^{\!k}\ge2^k\text{ für }k\ge6.$$

---

AAhh, auch richtig gut, danke!!!! :*

Answer 1

Aloha :)$$a_k=\frac{k^{2k}}{3^kk!}=\frac{1}{3^k}\frac{\overbrace{k^2\cdot k^2\cdot k^2\cdots k^2}^{k-mal}}{1\cdot2\cdot3\cdots k}$$$$\phantom{a_k}\ge\frac{1}{3^k}\frac{\overbrace{k^2\cdot k^2\cdot k^2\cdots k^2}^{k-mal}}{k\cdot k\cdot k\cdots k}=\frac{1}{3^k}\overbrace{k\cdot k\cdot k\cdots k}^{k-mal}=\left(\frac{k}{3}\right)^k\to\infty$$

Comments

Geniale Lösung, vielen Dank!!!!!

---

Finde, das Schwierige an diesen Aufgaben ist, das man oft gar keine Ahnung hat, und dann nicht einmal weiß, ob nun nach unten oder oben abschätzen.

In der Originalaufgabe hieß es nämlich einfach nur "Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz". Dass sie bestimmt gegen unendlich divergiert, hat mir Wolfram Alpha verraten hehe

---

Meistens reicht es aus, die Folgen algebarisch umzuschreiben. So viele "Tücken" können die Fragesteller in die Folgen nicht einbauen, wenn sie noch einfach zu diskutieren sein sollen. Da werden gerne Fakultäten, Wurzeln oder der Faktor \((-1)^n\) genommen. Wenn du das alles ein paar Mal gesehen hast, kriegst du Übung darin.