Zeigen Sie, dass die Folge (sn) gegen + unendlich uneigentlich konvergiert

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Folge (s_n) n Element der natürlichen Zahlen mit

                         s_{n=\( \sqrt[n]{(2n)!} \)}

uneigentlich gegen + Unendlich konvergiert.

Beachten Sie, dass sich s_n als Produkt von 2n Faktoren schreiben lässt, die man geschickt abschätzen sollte(beispielsweise die erste Hälfte anders als die zweite Hälfte)

Problem/Ansatz:

Ich habe überlegt, ob man eventuell mit dem Limes von n bis unendlich der Folge es eventuell schon offensichtlich machen kann, dass die Folge gegen +unendlich divergiert. Wenn das nicht klappen sollte, hatte ich die Idee es mit dem Epsilon-Kriterium zu zeigen.

Ich habe aber Probleme dabei die Folge zu vereinfachen. Denn:

Beachten Sie, dass sich s_n als Produkt von 2n Faktoren schreiben lässt, die man geschickt abschätzen sollte(beispielsweise die erste Hälfte anders als die zweite Hälfte)

Damit kann ich leider nicht viel anfangen. Könnte mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Answer 1

Hallo,

es ist doch

$$(2n)!=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \cdot (n+1) \cdot (n+2) \cdots (2n)$$

Wir sollen zeigen, dass \(s_n\) bestimmt divergiert. also suchen wir eine untere Abschätzung. Was ist die einfachste untere Abschätzung für die ersten n Faktoren? Was ist die einfachste untere Abschätzung für die zweite Hälfte der Faktoren? Welche Abschätzung erhält man daraus für \(s_n\)?

Gruß