Bestimmen Sie die Hessesche Normalenform x*n =d der Ebene durch die drei Punkte

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Hessesche Normalenform x*n =d der Ebene durch die drei Punkte
P = ( 3, 3, 3)

Q= (3, 1, -1)

R = ( -1, 7, 3)

Answer 1

Ein Normalenvektor ist z.B.

QP x RP =  (16;16;-8]  oder

einfacher [2;2;-1]  mit5 Länge 3

Also (2x+2y-z)/3 = d und z.B. P einsetzen gibt

d = 3  also  (2x+2y-z)/3 = 3  oder eben

$$\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 2/3\\2/3\\-1/3 \end{pmatrix}=3$$

Answer 2

Hey Lisa,

um die Hesse-Normalform anhand von 3 Punkten zu berechnen, benötigen wird zuerst zwei Richtungsvektoren der Ebene E, die sind zum Beispiel:
$$ \vec{a}= \vec{PQ}= \begin{pmatrix} 0\\-2\\-4 \end{pmatrix}\text{ und } \vec{b}=\vec{QR}= \begin{pmatrix} -4\\6\\4 \end{pmatrix} $$ 

Ein Normalvektor berechnest du durch das Kreuzprodukt beider Richtungsvektoren.

Das ergibt dann: $$\begin{pmatrix} 16\\16\\-8 \end{pmatrix}$$ 

Jetzt musst du den Normalvektor nur noch normieren [Länge 1 bringen]:

$$ n_{0}=\frac{1}{|\vec{n}|} $$

Probier das mal selber. Viel Erfolg :)