Gerade im r3 definiert und Punkt sollen ebenen Bilden und Hessesche Normalenform bilden

Question

müsste unebdingt diese Aufgaben lösen habe aber keine Ahnung wie ?Im R3 seien die Geraden G= { x ∈ R3 : x3=x2 = 1-x1} und der Punkt a (1 / 0 / 1) gegeben Bestimmen sie nun die Hessesche Normalenform der Ebene im R3 die a und G enthält.Meine Überlegung die Gerade sieht doch dann Vektormäßig ( 1 /  1-x1  / 1-x1  ) aus oder? Aber wie erstelle ich hier nun eine Geradengleichung auf  ?Vielleicht komm ich ab dann selbst weiter :)

Answer 1

 

offensichtlich meinst du die Gerade  g: \(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) +  r • \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\)   [r∈ℝ]

Der Punkt A hat den Ortsvektor \(\vec{a}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

Die Ebene, die beide enthält, hat die Richtungsvektoren 

\( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\) und \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}\)    [ = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) - \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ]

Ein Normalenvektor der Ebene ist deren Kreuzprodukt  \(\vec{n}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) mit  |\(\vec{n}\)| = √2

Hesse-Normalenform  e:   1/√2 • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)• \(\vec{x}\)   -  1/√2 • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) •  \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) = 0

also HNF von e:    1/√2 • \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)• \(\vec{x}\)  -  1/√2  =  0

Gruß Wolfgang

Comments

vielen Dank für deine Antwort.

Ich weiß nicht ob das ganz klar geworden ist aus meiner Frage ich hab die Gerade G={  x  ∈ R3 x3=x2 = 1-x1 )

jettzt musss ich doch wenn das ganze vektorielle ausdrücken will bedeutet das doch das meine x1= 1  und x2 und x3 jeweils 1-x1 also

 den Vektor

1                     -> x1 variable

1-x1               -> x2 Variable

1-x                 -> x3 variable

Dies beschreibt jetzt doch allgemein eine Punktemenge welche die Gerade darstellt oder liege ich da falsch ?

Hab mal die Aufgabe als Datei angehängt 

Vielleicht wird es so klarer.

Ist übrigens ein Uni Blatt vielleicht hilft auch das.

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wenn du in meine Geradengleichung eine beliebige Zahl r einsetzt und dann den Vektor \(\vec{x}\) ausrechnest, erhältst du immer x₂ = x₃ = 1 - x₁ . Es ist also die gleiche Gerade.

Mit der in der Aufgabe angegeben Form kann man aber nicht gut rechnen.

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OK :)

Vielen Dank für deine ausführliche Hilfe hat mir viel gebracht :)