Grenzwert der Folge a_(n) = (√n- √(4n + 1)) / ( √(3n)- √(3n + 4))? (Folge ist bestimmt divergent gegen unendlich)

Question

Die Aufgabe Lautet: Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge:

a_n = (√n - √(4n + 1)) / ( √(3n) - √(3n + 4))

Mir ist klar, dass diese Folge gegen +∞ divergiert wenn der lim_{n →∞} geht.

Nach stundenlanger Umformung komme ich nicht dazu, dies mathematisch korrekt zu zeigen. Die Rechenregeln für konvergente Folgen, darf man hier ja leider nicht benutzen.

Hat jemand einen guten Tipp für mich, wie ich da eventuell anders vorgehen kann?

für Mühe und Zeit

L. (Erstsemester)

Answer 1

(√n - √(4n + 1)) / ( √(3n) - √(3n + 4)) 

= ( √(4n + 1)- √n) / ( √(3n + 4) - √(3n)) 

= ( √(4n + 1)- √n)* ( √(3n + 4) + √(3n))/ ((3n + 4) - (3n)) (*)

= ( √((4n + 1)(3n+4)) - (√(n(3n+4)) + √((4n+1)(3n)) - √(n*3n))/ ( 4) 

jetzt weiter vereinfachen.

Oder ab (*)

= ( √(4n + 1)- √n)* ( √(3n + 4) + √(3n))/ (4)   | 3. Binom

= ((4n + 1)- n)* ( √(3n + 4) + √(3n))/ ((4)( √(4n +1) + √n)     

= (3n + 1) ( √(3n + 4) + √(3n))/ ((4)( √(4n +1) + √n)     |oben und unten durch √n

= (3√n + 1/√n)( √(3n + 4) + √(3n))/ ((4)( √(4 +1/√n) + 1) 

-------> n---> unendlich

---> (3*unendlich -0)(unendlich + unendlich) /(4*√(4+0) + 1) = unendlich

Anmerkung: Geht bestimmt auch mit weniger Schritten. Bitte sorgfältig nachrechnen.

Comments

Zuerst vielen Dank für die schnelle Antwort.

Ich bin deine Umformungen mal durchgegangen und auf ein kleines Problem gestoßen in der Zeile,
wo du Zähler und Nenner durch √n teilst:

Nach meiner Berechnung muss es dann lauten:

(3 / √n) + (1 / √n ) * (√(3*n+4) +√(3n)) / ( 4*( √(3n+ (1/n)+1)))

Demnach wäre es dann:

( 0 + 0 ) ( ∞ + ∞ ) / (4 * ∞)

0*∞ ist aber nicht definiert. Ich finde den Fehler hier leider nicht.

PS: Ich weiß leider nicht, wo man den Formeleditor öffnen kann, selbst nach einer Anmeldung ist bei mir auf dem PC nichts von zu sehen :(

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( √(4n +1) + √n) / √n

= ( √(4n +1)/√n + √n/√n)

= ( √((4n +1)/n) +1)

= ( √(4 +1/n) + 1)

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Okay, das ist ein nachvollziehbarer Rechenfehler, leider ändert es nichts an der Schlussfolgerung:

( 0 + 0 ) ( ∞ + ∞ ) / (4 * ∞)

Dies war auch mein Problem, als ich es ganz am Anfang versucht hatte, da ergaben die Umformungen:

(∞ - ∞) / 4... Wir dürfen mit unendlich nicht Rechnen in dem Sinne, nur Abschätzungen machen.

Ich verstehe nicht wie ich da im Endeffekt drauf komme, dass die ganze Folge gegen ∞ divergiert.

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( √(4 +1/n) + 1) → √(4+0) + 1 = 3 nicht unendlich!

" (∞ - ∞) / 4..." darfst du in der Tat nicht rechnen.

Oben steht aber 

“(∞ + ∞) / (4*3) "

Da gibt's keine Probleme mehr.

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ist mein versuch korrekt?

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das hier                                                                 

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Zum Schluss musst du schon noch angeben, dass der Grenzwert unendlich ist.

1. Dort wo du anfängst √( .....+ ....) durch √(...n^2 zu ersetzen) ist das nicht ganz sauber.

2. Du musst eigentlich gar nicht unbedingt alles ausmultiplizieren, da man schon nach der 2. Zeile unten das n weg hat und sieht, dass der Zähler gegen minus unendlich geht.

==> Grenzwert des Bruchs ist unendlich.

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Ja ich wollte es eigentlich rekativ ausführlich machen^^

Aber in der prüfungs hats gut geklappt^^

Aber

(1+1/4n)^{2n}

Das nicht^^ krnne aber jetzt die lösung^^

Danke nochmal an dir an die anderen

die prüfung lief eigentlich ganz gut

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Nur probe

~plot~ f(x)= 2x ~plot~

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Ich wusste ja gar nicht micht das man das so einfach machen kann^^^

Das wird sachen vereinfachen^^

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Freut mich zu hören, dass deine Prüfung gut gegangen ist. Weiter so!

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Yo danke ;)