Folge konvergent / divergent? Grenzwert bestimmen. a_(n):= (4n^4 - n^3 + n - 10)/(n^3 - 10)

Question

Wie bestimmt man den Grenzwert?

$$a _ { n } = \frac { 4 n ^ { 4 } - n ^ { 3 } + n - 10 } { n ^ { 3 } - 10 }$$

Mit den Grenzwertsätzen komme ich nicht weiter.

Answer 1

Hallo probe,

Du kannst hier l'Hospital anwenden. Allerdings sieht man recht schnell, dass der Nennergrad kleiner als der Zählergrad ist. Dementsprechend divergiert die Folge.

Reicht Dir das?

André

Comments

Wir hatten noch nicht l'Hospital...

GIbt es eine andere Möglichkeit?

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Natürlich. Du könntest den Ausdruck folgendermaßen umformen:

\(a_n=\dfrac{n^4\cdot \left(4-\dfrac{n^3}{n^4}+\dfrac{n}{n^4}-\dfrac{10}{n^4}\right)}{n^3\cdot \left(1-\dfrac{10}{n^3}\right)}\). Kürzt Du nun \(\dfrac{n^4}{n^3}\) verbleibt ein \(n\), das mit dem Bruch multipliziert wird. Die restlichen Brüche gehen für \(n\rightarrow \infty\) gegen \(0\). Da der Zählergrad größer als der Nennergrad ist, geht der Ausdruck gegen \(\infty\).

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Ich glaube das geht doch mit den Grenzwertsätzen...

Es wurde mit 1/n³ erweitert.

Die Brüche gehen für n->unendlich gegen 0.

Das geht oder?

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Ja, das geht auch:-) Wichtig ist eben die Erkenntnis, dass im Zähler das \(n\) steht und für \(n\rightarrow\infty\) der gesamte Ausdruck gegen \(\infty\) geht.

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Hallo Probe,

in deinem letzten Kommentar ist das zweite " = "  nur dann richtig, wenn du vor die drei Terme jeweils  lim_n→∞  schreibst (zweiter Term ≠ dritter Term, nur die GW sind gleich).

Gruß Wolfgang