Ansatz, komplexe Lösungen von z^7 = -72

Question

Stimmt folgender Ansatz, wenn man alle komplexen Lösungen bestimmen will?:

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Achtung: Da sind zwei MINUS zu viel.

-72 = 72 ( cos(iπ) + i*sin(iπ)) = 72 e^{iπ}

Answer 1

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Die Frage ist, ob der Ansatz stimmt..

Answer 2

Hallo probe,

er stimmt nicht ganz, da \(\cos(\pi) + i \cdot \sin(\pi) = e^{i\pi}=-1\) und nicht =1 ist. Und beim Winkel solltest Du berücksichtigen, dass die Addition eines Vollkreises zum gleichen Ergebnis fürhrt. Aus

$$r^7 \cdot e^{7i\varphi} = 72 \cdot e^{i(\pi + k \cdot 2\pi)} \quad k \in \mathbb{N_0}$$

folgt:

$$r=72^{\frac{1}{7}}$$

$$\varphi=\left( \frac{1}{7} + \frac{2}{7}k \right)\cdot \pi$$

was dann zu sieben verschiedenen Lösungen führt.

Gruß Werner