Beweis Arcustangens Potenzentwicklung

Question

Aufgabe: Beweisen Sie: Der Arcustangens besitzt die Potenzreihenentwicklung

acrtan x = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)ⁿ}{2n+1}} \) x²ⁿ⁺¹   für x∈ (-1,1).

Anleitung: Bestimmen Sie zunächst den Konvergenzradius der Potenzreihe. Differenzieren Sie anschließend beide Seiten.

Problem/Ansatz: Trotz der Anleitung fällt es mir schwer diese Aufgabe zu lösen

Comments

Was fällt Dir schwer? Konvergenz Rsdius? Links differenzieren? Rechts differenzieren?

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Hallo

welchen Teil der Anleitung kannst du nicht?

lul

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Hallo lul und Mathhilf,

ich bin bei winterzwerg200 in der Lerngruppe und uns fällt es schwer, den Konvergenzradius hiervon zu bestimmen. Irgendwie verwirrt mich die Form hinter dem Bruch. Wenn ich den Konvergenzradius bestimmt habe, wie würde ich dann konkret weitermachen. Ich verstehe nicht was mit "differenzieren Sie beide Seiten" gemeint ist.

LG Baumknlich11

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Was die "Form hinter dem Bruch" angeht:

$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}x^{2n+1}=x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}(x^2)^n=x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2n+1}z^n$$

mit \(z=x^2\). Wenn jetzt für die Reihe in z der Konvergenzradius r ist (dafür würde ich mal das Quotientenkriterium versuchen) dann haben wir Konvergenz für

$$r>|z|=|x|^2, \text{  also für }|x|<\sqrt{r}$$

"Differenzieren auf beiden Seiten" heißt, dass Du den arctan differenzieren sollst und die Reihe auf der rechten Seite - das geht, indem Du jeden Summanden differenzierst ....