Question

Beweisen Sie, dass für die Ableitung des Arcustangens arctan x: ℝ → (-π/2,π/2) gilt

(arctan x) ' = \( \frac{1}{1+x^2} \) ( x ∈ ℝ )

Answer 1

Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion anwenden:

Es habe f eine Umkehrfunktion und

f differenzierbar an der Stelle x und f ' (x) ≠ 0 und f(x)=y

==>   f^(-1) ' (y) = 1 /  f ' (x)     Hier also

arctan ' (y)  =  1 /  tan ' (x)   = 1 / ( 1 + tan^2 (x ) )  #

Und  y = tan(x) <=>  x = arctan (y)

Damit gibt #

arctan ' (y)  =    = 1 / ( 1 + tan^2 (arctan(y)  ) ) = 1 / ( 1 + y^2 ) .

                                q.e.d.