Ableitung arctan mit Umkehrfunktion

Question

Ableitung von arctan(x)

$$(f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

ich habe es schon versucht. Irgendwie komm ich einfach nicht auf das Ergebins. Was mache ich falsch?

Answer 1

einfacher ist es, wenn du tan(x)'=tan(x)^2+1

benutzt. 1/COS(x)^2 ist äquivalent, aber dann kürzt es sich nicht so leicht ;)

Comments

okay und wie muss ich bei mir jetzt weiter machen ?

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Du setzt anstatt 1/cos^2(x) f'(x)=tan^2(x)+1 ein:

f^{-1}(x)=1/(f'(f^{-1}(x))

=1/(tan^2(arctan(x))+1)

=1/(x^2+1)

weil tan(arctan(x))=x (Umkehrfunktion)

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wie kommt man auf diese ableitung von tangens?

sorry aber ich steh total auf dem schlauch

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Du kennst bestimmt die Formel

1=sin^2(x)+cos^2(x) .

Demnach ist

1/cos^2(x)=(sin^2(x)+cos^2(x))/cos(x)^2

=sin^2(x)/COS^2(x) +1

=tan^2(x)+1

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super danke !!habs verstanden!:)))