Zeigen, dass f(x)=arctan(x+1) eine Umkehrfunktion existiert?

Question

wie kann ich zeigen, dass die Funktion f(x)=arctan(x+1) eine Umkehrfunktion besitzt!

Danke und viele Grüße

Comments

Da fehlen noch Definitions- und Wertebereich.

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Oh sorry, der Wertebereich ist [-pi/2,pi/2]

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Jetzt hast du zwar den Definitionsbereich noch nicht verraten, aber unabhängig davon: Mit diesem Wertebereich besitzt die Funktion keine Umkehrfunktion.

Meinst du vielleicht folgendes? $$f:\mathbb{R}\to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), f(x)=\arctan(x+1)$$

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Danke für die Richtigstellung, genau das meine ich ! :D

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Was darfst du denn alles benutzen? Weißt du, dass \(\arctan:\mathbb R\to (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) bijektiv ist? Dann ist obige Funktion einfach eine Komposition bijektiver Funktionen.

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Puuh, da wär ich nicht drauf gekommen. Mir fällt gerade auf, im weiteren Verlauf der Aufgabe sollen an der Stelle y = pi/4 die Werte f^-1(y), (g^-1)'(y) etc. bestimmt werden. Dann reicht es wahrscheinlich gar nicht zu zeigen, dass eine Umkehrfunktion existiert, sondern ich muss diese auch berechnen, oder?

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Was ist denn \(g\)?
Die Umkehrfunktion von \(f\) kann man hier auch leicht explizit angeben, ja.

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Sorry, meinte natürlich f.

Da der arctan ja die Umkehrfunktion von tan ist, hätte ich spontan gesagt die Umkehrfunktion von f ist tan(1+x), was aber nicht richtig ist.

Wie kann ich in diesem Fall die Umkehrfunktion berechnen?

Wenn ich eine Umkehrfunktion berechne, ist dann damit gleichzeitig gezeigt, dass eine Umkehrfunktion existiert?

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Hast du schon mal eine Umkehrfunktion einer Funktion berechnet? Wie hast du das da gemacht?

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Naja, bei einfachen Funktionen würde ich die Funktion nach x auflösen und dann x und y vertauschen, dann hätte ich die Umkehrfunktion. Aber hier würde das denke ich nicht funktionieren oder?

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Wieso nicht? Du musst erstmal auf der rechten Seite der Gleichung \(y=\arctan(x+1)\) den \(\arctan\) beseitigen. Womit macht man das? (das hast du oben schon mal gesagt)

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Jetzt wurde die Lösung unten schon gepostet. Ist tatsächlich total einfach. Ich wusste nicht, dass man den arctan einfach so beseitigen kann!

Answer 1

Um die Umkehrfunktion zu bestimmen löst man eine Funktion einfach nach x auf. Am Ende wird dann x und y vertauscht. Das spare ich mir aber.

y = ARCTAN(x + 1)

TAN(y) = x + 1

TAN(y) - 1 = x