Nach dem Weierstraß-Kriterium benötigen wir eine Abschätzung
$$|f_n(x)|=\frac{nx^2}{\exp(nx)+x} \leq a_n$$
durch reelle Zahlen \(a_n\), so dass die Reihe über die \(a_n\) konvergiert. DAnn folgt, dass die Funktionenreihe aus stetigen Summanden gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert, die dann auch stetig ist.
Der entscheidende Punkt ist, das schnelle Wachstum der exp-Funktion zu nutzen. Konkret reicht folgende Abschätzung für \(x \geq 1\) aus der Reihendarstellung der exp-Funktion
$$\exp(nx)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}(nx)^i \geq \frac{1}{6}(nx)^3 $$
Damit
$$|f_n(x)|=\frac{nx^2}{\exp(nx)+x} \leq \frac{nx^2}{\frac{1}{6}(nx)^3}=\frac{1}{x}\frac{6}{n^2} \leq \frac{6}{n^2}=:a_n$$
