Urbild abgeschlossen Menge wieder abgeschlossen ohne Stetigkeit beweisen

Question

Aufgabe: es seien M und N Teilmenge von ℂ. Man kann sich unter M und N auch als beliebiger Mengen, versehen mit je einer Topologie, vorstellen.

Sei f: M→N eine Abbildung.

Zu zeigen ohne die Charakterisierung der Stetigkeit, die Äquivalenz der beide Aussagen.

1. für jede in N abgeschlossene Menge B⊆N gilt: f^-1(B) ist abgeschlossen in M.

2. für jede Menge A⊆M und jedes x∈M gilt: ist x ein Berührpunkt von A, so ist f(x) ein Berührpunkt von f(A)

Problem/Ansatz:

mit Stetigkeit schaffe ich noch. Aber jetzt darf ich ohne Rückgriff auf die äquivalenten Charakterisierungen der Stetigkeit die Äquivalenz beweisen, habe ich leider keine gut Idee.

hat jemanden einen Lösungsweg oder einen gute Ansatz?

Answer 1

1. ist äquivalent zu

1a.: für jede in \(N\) offene Menge \(B\) ist \(f^{-1}(B)\) offen in \(M\).

Die Äquivalenz von 1. und 1a. ergibt sich leicht aus der Tatsache, dass \(f^{-1}\)

mit der Komplementbildung vertauschbar ist.

\(1a \Rightarrow 2\) :

Sei \(x\in M\) ein Bercührpunkt von \(A\) und angenommen \(f(x)\notin \overline{ f(A) } \).

Dann gibt es eine offene Umgebung \(U(f(x))\) von \(f(x)\) mit

\(U(f(x))\cap f(A)=\emptyset\quad (*)\).

Wegen 1a. ist dann \(f^{-1}(U(f(x))\) eine offene Umgebung von \(x\).

Wäre nun \(f^{-1}(U(f(x))\cap A\neq \emptyset\), dann gäbe es ein

\(a\in f^{-1}(U(f(x))\cap A\), d.h. \(f(a)\in U(f(x))\cap f(A)\) im

Widerspruch zu \((*)\).

\(2\Rightarrow 1\):

Sei \(B\subset N\) abgeschlossen und \(A:=f^{-1}(B)\).

Wir müssen zeigen, dass \(A\) abgeschlossen ist.

Sei \(x\in M\) ein ein Berührpunkt von \(A\). Es ist zu zeigen, dass \(x\in A\) ist.

Nach 2. ist \(f(x)\) Bercührpunkt von \(f(A)\).

Nun gilt \(f(A)\subset B\Rightarrow \overline{f(A)}\subset \overline{B}=B\),

folglich \(x\in f^{-1}(\overline{f(A)})\subset f^{-1}(B)=A\).

Gruß ermanus

Comments

Verständlich und umfassend.

Vielen