Ich bin absoluter Fan der ===> ( NSA ; IST ) von ===> Edward Nelson. Ein ausgezeichnetes Lehrbuch wäre da Alain Robert bei Wiley.
Bei mir gelten folgende Konventionen. So lange wir NSA betreiben, bitte Großbuchstaben nur für Standardobjekte reservieren ( Also auch Mengen klein schreiben. )
Inf(initesimale) Größen werden mit griechischen Buchstaben belegt.
gleich für dich das Wichtigste ( Für Axiomatik hab ich heute keine Zeit, antworte jedoch gerne auf deine Kommentare. )
Definition 1 ( Begrenztheit )
Ein Vektor x des R ^ N heißt begrenzt, falls
(E) M > 0 : | x | < M ( 1a )
Und hier nun kannst du gleich dein erstes Missverständnis ausräumen. Dass ein Element des |R ^ N beschränkt ist ( " bounded " ) ist ja trivial. Dass es begrenzt ist ( " limited " ) ist es nicht. Die Definition der Beschränktheit würde lauten
(E) m > 0 : | x | < m ( 1b )
Meine Erfahrung: Nelsons Analysis ist eindeutig " case sensitive " ; die klassische " Schwarzweiß-Analysis " ist es nicht.
Wozu brauchen wir begrenzte Elemente? Nelson fand einen Lehrsatz, den ich als " Schattensatz " bezeichnen möchte.
Satz 1 ( Schattensatz )
Sei x begrenzt. Dann existiert eine eindeutige Zerlegung
x = x* + € ( 2a )
x* =: X = Standard = Schatten ( x ) ( 2b )
Von seinem Schatten unterscheidet sich dieses x also aller höchstens um einen inf Betrag.
Kennst du das ===> Supremumsaxiom? Solltest du; es stellt sicher, dass jede monoton wachsende beschränkte Folge konvergiert. Und genau mit dem Supremumsaxiom beweist Nelson seinen Schattensatz.
Satz 2
O ist offen genau dann wenn für begrenzte x
x* € O ===> x € O ( 3a )
Oder etwas anschaulicher gefasst:
Satz und Aussage 3a
O ist offen genau dann, wenn für X € O sämtliche inf Kugelumgebungen u ( X ; € ) ganz innerhalb O liegen.
Zum Vergleich; Aussage 3b kann zwar richtig sein, ist jedoch i.A. falsch :
Aussage 3b
Sei o offen und x € o . Dann liegen alle Kugelumgebungen u ( x ; r ) ganz innerhalb o .
achte auf den Unterschied in der Groß-Kleinschreibung; versuche vor allem, es anschaulich aufzuzeichnen. Dann bist du übern Berg.
für abgeschlossene Mengen folgt die zu Satz 2 duale Aussage:
Satz 4
A ist abgeschlossen genau dann wenn
x € A ===> x* € A ( 3b )
Hier heißt die anschauliche Deutung: Jede Menge M " wirft " ihren Schatten auf ihren Rand.
Und jetzt zu deinen Aufgaben.
Beweis von a) Ich setze für das Komplement K := |R ^ N \ A
Sei x* € K ; nach ( 3a ) Satz ( 2 ) zu zeigen: x selbst liegt auch in K .
Widerspruchsbeweis; gesetzt x liegt nicht in K . Rein logisch muss x in A liegen; A war aber abgeschlossen ===> x* € A im Widerspruch zur Annahme.
b) sollte jetzt weiter kein Akt mehr sein; es ist das zu a) duale Argument.
Das ist die Stärke der Teorie; um z.B. zu widerlegen, dass eine Menge abgeschlossen ist, prüfst du eine algebraische Beziehung für EINEN Punkt nach.
zu c) Ganz am Anfang der Theorie lernst du
Satz 5
" Jede unendliche Menge enthält ein Nonstandard Element. "
Jetzt weißt du also, woher der ganze Ärger mit der Unendlichkeit herrührt. Stellen wir uns die Eigenschaft " Standard " ruhig vor als DIN Nomteile.
Ein weiterer wichtiger Lehrsatz
Satz 6
" Eine Menge m enthält ausschließlich Standard-Elemente genau dann, wenn sie Standard endlich ist. "
Das Gnaden lose hinter der NSA ist gerade, dass du über den Sinn deiner Worte nachdenken musst. Wir betrachten hier eine Familie F , d.h. F soll eine Menge sein. Und die Elemente von F seien offene Umgebungen
O1 ; O2 ; ... , O ( I ) ; ... , O ( N ) ( 4 )
Wieso darf diese Familie jetzt Standard sein? Also " F " und nicht " f " ? Auf das ===>Transferaxiom, Nelsons wichtigstes Prinzip, kann ich hier nur am Rande eingehen. die Botschaft lautet: Untersuche den Standardfall und ignoriere bzw. glaube den Rest.
Das Folgende vermagst du erst richtig einzuordnen, wenn ich dich mit einem der häufigsten Anti-Nelson-Einwände vertrautmache. Betrachte mal ein ( inf ) €-Intervall
u ( € ) : - € < x < € ; € > 0 ( 5a )
µ := 2 € ( 5b )
Wohl liegt µ* = 0 in u , µ selbst aber nicht - in scheinbarem Widerspruch zu ( 3a ) Des Rätsels Lösung: u ist gar nicht Standard; Satz 2 findet keine Anwendung. ( Es heißt ausdrücklich " eine Menge ' GROSS O ' "
Hier gilt ein ziemlich einprägsamer Satz
Y = F ( X ) ist Standard ( 6 )
So wäre eine Funktion denkbar, die jeder Kugel ihren Radius zuordnet; und Standardkugeln haben Standard Radiusse. Aus ( 5a ) folgt eindeutig, dass eine inf Kugel niemals Standard sein kann.
Warum ich das sage? Wenn x* in der Schnittmenge der Umgebungen ( 4 ) liegt, liegt es in jedem einzelnen O ( I ) - wir hatten aber gesagt, das sind alles Standardmengen auf Grund von Satz 6 . Auf jedes O ( I ) darfst du die Aussage von Satz 2 anwenden, und damit liegt auch x in der Schnittmenge. Analog beweisest du d)
Zu e) Kennst du die ===> überabzählbare ===> Kardinalotät ( Mächtigkeit ? Ich selbst bevorzuge als ===> Indexmenge die ===> ordinalzahlen ( OZ ) - im Internet hervor ragend veranschaulicht. OZ sind eine direkte Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen; unsere Familie F abgeschlossener Mengen möge jetzt heißen
F = { a ( r ) | r < S } ( 7 )
Die Ordinalität S von Familie ( 7 ) möge ihre " Länge " heißen. Natürlich ist S , die Länge einer Standardfamilie F , auch wieder Standard - wie könnte es anders sein?
Aber ich erinnere an Satz 5 . So bald du eine unendliche Familie zulässest, kommen da Nonstandard Mengen a ( r ) drin vor. Jede OZ enthält doch ihre sämtlichen Vorgänger; also könnte ich auf S eine Funktion F einführen, die jedem r sein a ( r ) zuordnet. Und F ( R ) = A ( R ) wäre dann ausnahmsweise Standard.
Nur für diese Ausnahmemengen gilt aber Theorem 4 ( 3b ) Das hatten wir doch gerade gelernt. Voraussetzung: x liegt in allen a ( r ) - und x* nicht?
Hier nun passiert was ganz Komisches - musss ich dir doch erklären, was das Transferaxiom besagt. Ge doch mal aus vom IQ-Test. dort wirst du gefragt
" Setzen Sie die folgende Zahlenfolge fort:
a < n > = < 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ... >
Und du sollst sagen
( max Zeichen )
