Aufgabe:
Wir betrachten \( \mathbb{R} \) mit der üblichen Topologie. Geben Sie an, welche der nachfolgenden Mengen offen bzw. abgeschlossen sind. Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.
a) \( A=\{1,2,3\} \)
b) \( B=f^{-1}((1, \infty)) \), wobei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} \exp \left(x^{2}\right) \)
c) \( C=\{x \in \mathbb{R}:|x|>2\} \)
d) \( D=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}\left(n-\frac{1}{1+n^{2}}, n+\frac{1}{1+n^{2}}\right) \)
e) \( E=\bigcap_{k=1}^{5}\left\{x \in \mathbb{R}:(x-k)^{2} \leq 1\right\} \)
Problem/Ansatz:
Wie in der Aufgabe gefragt, sollt man nur angeben, ob eine Menge offen bzw. abgeschlossen ist. Aber ich verstehe leider nicht, wie ich das an den Mengen erkennen / prüfen soll.
Ich würde mich über eine Erklärung sehr freuen, wie mich sich das herleiten kann, denn ich begreife noch nicht so ganz, wie ich unten hinterlegte Definition dazu irgenwie nutzen kann.
Vielen Dank dazu schonmal im Voraus.
Nötige Infos aus meinem Skript: -> beachte bitte, das die obige Frage nicht mit Eigenschaften aus dem metrischen Raum hergeleitet werden sollen (haben diese noch nicht eingeführt), sondern noch allgemeiner aus den topologischen Räume!
DEFINITION (Topologischer Raum). Ein topologischer Raum ist eine nichtleere Menge \( X \) zusammen mit einer Topologie \( \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) \), die die folgenden Eigenschaften hat:
i) \( \varnothing \in \mathcal{T} \) und \( X \in \mathcal{T} \),
ii) die Vereinigung von Elementen aus \( \mathcal{T} \) ist wieder in \( \mathcal{T} \),
iii) der endliche Durchschnitt von Elementen aus \( \mathcal{T} \) ist wieder in \( \mathcal{T} \).
Die Elemente der Topologie \( \mathcal{T} \) heißen offene Mengen, die Komplemente offener Mengen heifen abgeschlossen.
BEISPIEL: Sei \( X=\mathbb{R} \). Eine Teilmenge \( V \subset \mathbb{R} \) heißt nach Definition \( 3.9 \) offen, wenn zu jedem \( x \in V \) ein \( \epsilon>0 \) existiert, sodaß das Intervall \( (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset V \). Wir zeigen, daß die so definierten offenen Teilmengen von \( \mathbb{R} \) eine Topologie im Sinne der obigen Definition bilden: ... (Beweis erfüllt einfach dadurch, dass man alle drei obigen Eigenschaften prüft).
