Geben Sie an, welche der nachfolgenden Mengen offen bzw. abgeschlossen sind

Question

Aufgabe:

Wir betrachten \( \mathbb{R} \) mit der üblichen Topologie. Geben Sie an, welche der nachfolgenden Mengen offen bzw. abgeschlossen sind. Sie brauchen Ihre Antworten nicht zu begründen.

a) \( A=\{1,2,3\} \)

b) \( B=f^{-1}((1, \infty)) \), wobei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x^{2} \exp \left(x^{2}\right) \)

c) \( C=\{x \in \mathbb{R}:|x|>2\} \)

d) \( D=\bigcup_{n \in \mathbb{N}}\left(n-\frac{1}{1+n^{2}}, n+\frac{1}{1+n^{2}}\right) \)

e) \( E=\bigcap_{k=1}^{5}\left\{x \in \mathbb{R}:(x-k)^{2} \leq 1\right\} \)

Problem/Ansatz:

Wie in der Aufgabe gefragt, sollt man nur angeben, ob eine Menge offen bzw. abgeschlossen ist. Aber ich verstehe leider nicht, wie ich das an den Mengen erkennen / prüfen soll.

Ich würde mich über eine Erklärung sehr freuen, wie mich sich das herleiten kann, denn ich begreife noch nicht so ganz, wie ich unten hinterlegte Definition dazu irgenwie nutzen kann.

Vielen Dank dazu schonmal im Voraus.

Nötige Infos aus meinem Skript: -> beachte bitte, das die obige Frage nicht mit Eigenschaften aus dem metrischen Raum hergeleitet werden sollen (haben diese noch nicht eingeführt), sondern noch allgemeiner aus den topologischen Räume!

DEFINITION (Topologischer Raum). Ein topologischer Raum ist eine nichtleere Menge \( X \) zusammen mit einer Topologie \( \mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X) \), die die folgenden Eigenschaften hat:
i) \( \varnothing \in \mathcal{T} \) und \( X \in \mathcal{T} \),
ii) die Vereinigung von Elementen aus \( \mathcal{T} \) ist wieder in \( \mathcal{T} \),
iii) der endliche Durchschnitt von Elementen aus \( \mathcal{T} \) ist wieder in \( \mathcal{T} \).

Die Elemente der Topologie \( \mathcal{T} \) heißen offene Mengen, die Komplemente offener Mengen heifen abgeschlossen.

BEISPIEL: Sei \( X=\mathbb{R} \). Eine Teilmenge \( V \subset \mathbb{R} \) heißt nach Definition \( 3.9 \) offen, wenn zu jedem \( x \in V \) ein \( \epsilon>0 \) existiert, sodaß das Intervall \( (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset V \). Wir zeigen, daß die so definierten offenen Teilmengen von \( \mathbb{R} \) eine Topologie im Sinne der obigen Definition bilden: ... (Beweis erfüllt einfach dadurch, dass man alle drei obigen Eigenschaften prüft).

Answer 1

Zu a)

Es ist \(\{1,2,3\}=\mathbb{R}\backslash O\), wobei

\(O=(-\infty,1) \cup (1,2) \cup (2,3) \cup (3,\infty)\) als Vereinigung offener

Mengen offen ist. Daher ist \(\{1,2,3\}\) als Komplement abgeschlossen.

Ich gehe dabei davon aus, dass ihr bereits wisst, dass offene Intervalle

offene Mengen sind.

Zu b)

Aus dem \(\epsilon-\delta\)-Kriterium der Stetigkeit, kann man

folgenden Satz erschließen:

Die Urbildmenge einer offenen (abgeschlossenen) Menge unter einer stetigen

Abbildung (Funktion) ist offen (resp. abgeschlossen).

Die angegebene Funktion \(f\) ist stetig und das Intervall \((1,\infty)\) ist eine

offene Menge, also ist die Urbildmenge unter \(f\) eine offene Menge.

Zu c)

\(C=(-\infty,-2)\cup (2,\infty)\), also die Vereinigung zweier offener

Intervalle, also zweier offener Mengen, also offen.

Zu d)

Vereinigung offener Intervalle, also ...

Zu e)

Überlege dir, dass es sich um den Durchschnitt von endlich vielen

(nämlich von fünf) abgeschlossenen Mengen handelt ...

Comments

Also so wurden Intervalle bei uns definiert:

Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge \( I \subset \mathbb{R} \), das bedeutet: Sind \( x, z \in I \) und ist \( x \leq y \leq z \), so folgt auch \( y \in I \). Offenbar hat jedes Intervall eine der Formen
\( \begin{array}{ll} {[a, b]:=\{x \in \mathbb{R}: a \leq x \leq b\},} & (a, b]:=\{x \in \mathbb{R}: a<x \leq b\} \\ {[a, b):=\{x \in \mathbb{R}: a \leq x<b\},} & (a, b):=\{x \in \mathbb{R}: a<x<b\} \end{array} \)
wobei \( a, b \) entweder reelle Zahlen mit \( a \leq b \) sind oder \( a=-\infty \) oder \( b=+\infty \); man meint damit zum Beispiel \( (-\infty, 0]=\{x \in \mathbb{R}: x \leq 0\} \).

Und eine offene Teilmenge wäre dann:

DEFINITION \( 3.9 \) (offene Teilmengen). Sei \( U \subset \mathbb{R} \) beliebig. Eine Teilmenge \( V \subset U \) heiRt offen bezuiglich \( U \), wenn es zu jedem \( x \in V \) ein \( \epsilon>0 \) gibt, sodaß \( B_{\epsilon}(x) \cap U \subset V \).

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Sei \((a,b)\) ein offenes Intervall und \(x\in (a,b)\),

d.h. \(a\lt x \lt b\). Sei \(\epsilon = 1/2\cdot min(|x-a|, |b-x|)\).

Dann ist \(B_{\epsilon}(x)\subset (a,b)\).

Damit ist gezeigt, dass das offene Intervall \((a,b)\) eine

offene Menge ist.

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Okay, das macht schonmal Sinn für abgeschlossene, dass man sich von der gegebenen Menge das Komplement anschaut, ob dieses offen ist.

Wie sieht es dann mit einer offenen Menge aus? Wie kann man das sehen/prüfen?

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Eigentlich, indem man die Definition der offenen Mengen

in der betrachteten Topologie prüft, also eine Menge ist offen,

wenn sie zu jedem ihrer Elemente eine Epsilon-Umgebung enthält.

In vielen Fällen hat man aber Sätze zur Verfügung,

die einem diesen elementaren Zugang ersparen.

Ich schreibe noch was zu b) usw.

Da kannst du sehen, welche "Tools" ich verwende.

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Das wäre super, vielen Dank für deine Hilfe!!

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Habe solche Aufgaben irgendeinen Realitätsbezug?

Beispiel?

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Die Topologie ist eine der Grundwissenschaften in der Mathematik.

Ohne sie und das Verständnis ihrer Begriffe kann man z.B.

moderne Probleme komplizierter Mannigfaltigkeiten

weder ausdrücken noch lösen. Als "abschreckendes

Beispiel" mag hier die String-Theorie herhalten, aber

topologische Methoden treten auch in der Zahlentheorie auf,

wo es um die Lösbarkeit ganzzahliger Probleme geht.

Für zukünftige Mathematiker ist es daher unangebracht,

sich über topologische Themen ignorant hinwegzusetzen.

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Danke, ermane magne!

Als "abschreckendes

Beispiel" mag hier die String-Theorie herhalten, a

Kannst du dazu etwas konkreter werden?

Solche Dinge interessieren mich sehr.