Zeige dass die Menge offen ist.

Question

Aufgabe:

Zeige dass die Menge offen ist.

Problem/Ansatz:

ich sitze an einer Aufgabe und muss als Zwischenschritt zeigen, dass die Menge M={ (x,y) ∈ R² : x>y} offen ist.

Leider hatte ich nie ganz verstanden wie man das mit Hilfe einer offenen Kugel macht. Meinem Verständnis nach muss man einfach nur ein r finden sodass für jeden Punkt x₀  in der Menge die offene Kugel B(x0, r) auch noch in M liegt. Kann ich r := |x-y| definieren oder wie muss ich vorgehen?

Danke im Voraus!

Answer 1

Die Menge der Paare mit x=y ist ja die 1. Winkelhalbierend.

Mit x>y hast die die Punkte, die "unterhalb" dieser Geraden liegen.

Du musst also zu jedem dieser Punkte eine offene Kreisscheibe finden,

die ganz in M liegt, also anschaulich ganz unterhalb der Winkelhalbierenden.

Wenn P(x.y) (nenne ich mal so, statt x_o) so ein Punkt ist, gilt

jedenfalls x>y.  Und B(P, r) ⊂ M für z.B. für r= (x-y)/4 .

Denn der von P aus nächste Punkt auf der Geraden mit y=x

ist ( (x+y)/2 ; (x+y)/2 ) ) und der ist (x-y)/√2 , also weiter

als (x-y)/4 von P entfernt.