Konvergiert die Reihe? Universität

Question

Aufgabe:

Konvergiert die Reihe ∑ \( \frac{1*3*5*...(2n-1)}{2*4*6*...2n} \) ?

Ansatz: Ich Vergleiche die Reihe mit \( \frac{1}{2} \) + \( \frac{1}{4} \) + \( \frac{1}{6} \) + \( \frac{1}{8} \) + ...

stecke aber momentan noch fest

Comments

$$\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}=\frac1{4^n}\cdot\binom{2n}n>\frac1{4^n}\cdot\frac12\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}=\frac1{2\sqrt{\pi n}}.$$

Answer 1

Hallo,

warum greifen wir nicht einfach den Hinweis der Fragenstellerin auf:

$$\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n)} \geq \frac{1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n-2)}{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n)} \geq \frac{1}{2} \frac{1}{n} $$

Also ist die harmonische Reihe (mit Faktor 0.5) eine divergente (Majorante).Minorante.

Gruß

Answer 2

Nach Kommentar von MatHaeMatician revidiere ich meine ursprüngliche Antwort. Es handelt sich tatsächlich um \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\). Die Doppelfakultät ist definiert als $$n ! !=\left\{\begin{array}{ll}n \cdot(n-2) \cdot(n-4) \cdots 2 & \text { für } n \text { gerade und } n>0 \\ n \cdot(n-2) \cdot(n-4) \cdots 1 & \text { für } n \text { ungerade und } n>0 \\ 1 & \text { für } n \in\{-1,0\}\end{array}\right.$$ Es gilt dann \((2n)!!=2^n\cdot n!\) und \((2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\).

Comments

Gesucht ist aber

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} $$

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1⋅3⋅5⋅…⋅(2n−1) ≠ (2n-1)!

2⋅4⋅6⋅…⋅2n ≠ (2n)!

Es ist ja immer nur jeder zweiter Faktor dabei => Doppelfakultät.

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Ja, habe ich bereits zurückgezogen - du hast recht.

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Na gut, aber es gilt dann ja \((2n)!!=2^n\cdot n!\) und \((2n-1)!!=\frac{(2n)!}{2^n\cdot n!}\)

Answer 3

Ich als Realschüler würde es anders versuchen, denn der erste Blick sagt mir, dass diese Reihe nicht konvergieren kann.

Der zweite wendet sich an

https://www.wolframalpha.com/input/?i=product+%281-1%2F%282k%29%29%2C+k%3D1..100000

Dort habe ich rumgespielt mit dem Product

\( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \)

\( \prod_{k=1}^{1}{(1-\frac{1}{2k})} \) =0,5

\( \prod_{k=1}^{10}{(1-\frac{1}{2k})} \) ≈0,176

\( \prod_{k=1}^{1000}{(1-\frac{1}{2k})} \) ≈0,0178

\( \prod_{k=1}^{100000}{(1-\frac{1}{2k})} \)

≈0,00178

Und wenn ich dann weiter suche, finde ich

\( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \) = \( \frac{1}{\sqrt{nπ}} \)

Was bedeutet das für die Summe des Products?

\( \sum\limits_{n=1}^{m}{}\) \( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \)

\( \sum\limits_{n=1}^{1}{}\) \( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \) =0,5

\( \sum\limits_{n=1}^{10}{}\) \( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \) >1,76

\( \sum\limits_{n=1}^{1000}{}\) \( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \) >17,8

\( \sum\limits_{n=1}^{100000}{}\) \( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \) >178

Die Summe steigt über alle Grenzen.

Dies ist kein Beweis, doch die Indizien sind eindeutig.

Doch es geht auch allgemein.

\( \sum\limits_{n=1}^{m}{}\) \( \prod_{k=1}^{n}{(1-\frac{1}{2k})} \) >

\( \sum\limits_{n=1}^{m}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{pi}}}\) diese Summe divergiert.