Zeige, dass die Reihe konvergiert.

Question

Aufgabe:

Sei (a_n)_n∈ℕ eine streng monoton wachsende Folge natürlicher
Zahlen, welche nur die Ziffer 1 in der Dezimalnotation enthalten. Zeige, dass
die Reihe ∑ \( \frac{1}{an} \) konvergiert.

Habe leider keinen soliden Ansatz.

Answer 1

Wenn an streng monoton wachsend ist, dann gilt für  die Folgenglieder

a1 ≥ 1

a2 ≥ 11 > 10

a3 ≥ 111 > 100 = 10^2

etc.

Also allgemein für n>1 jedenfalls an > 10^(n-1)

==>    1 / an < 1/10(n-1) = (1/10)^(n-1)

Damit ist die geometrische Reihe mit q=1/10 eine Majorante.

Da sie konvergiert, konvergiert auch die Reihe mit 1/an .