Beweisen sie dass die Reihe konvergiert ist.

Question

Es sei ( a n ) n ∈ N eine Folge ganzer Zahlen mit a n ∈ { 0 ,..., 9 } , n ≥ 1. Beweisen Sie, dass die Reihe konvergiert

Comments

Der Index im Text verträgt sich nicht mit dem Index im Bild. Wenn in beiden Fällen der Index k gemeint ist, vertragen sich unendlich viele a_k nicht mit einer endlichen Menge a_k ∈ {0, .. ,9}

Wie sieht die ursprüngliche Aufgabenstellung aus?

Answer 1

Schätze die \( a_k\) durch 9 nach oben ab:

$$ 0\le \sum_{k=1}^\infty a_k \left(\frac{1}{10}\right)^k \le \sum_{k=1}^\infty 9 \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^k = 9 \cdot \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{10}\right)^k = 9 \cdot\left( \frac{1}{1-\frac{1}{10}} -1\right) = 1 < \infty $$

Verwende dabei die geometrische Reihe (vorsicht beim Index!). Damit konvergiert auch die Reihe:

$$ \sum_{k=0}^\infty a_k \left(\frac{1}{10}\right)^k $$

Grüße