Hallo,
ich denke, du meinst folgendes:$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{nx^n}{(n^3+n)4^n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\underbrace{\frac{n}{n^3+n}}_{=a_n}(x/4)^n$$ Dann kannst du, für den Konvergenzradius, die Formel von Cauchy-Hadamard anwenden:$$R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2+2n+1}{n^2+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2(1+2/n+2/n^2)}{n^2(1+1/n^2)}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+2/n+2/n^2}{1+1/n^2}=1$$ Die Entwicklungsstelle ist \(x_0=0\), d. h. die Konvergenz ist in \(|x/4|<1 \Leftrightarrow |x|<4\) gesichert. Ob es für \(x=4\) oder \(x=-4\) konvergiert, überlasse ich dir zum Prüfen.
