Wir können das Integralkriterium anwenden, da die Funktion monoton fallend ist. Dieser besagt, dass die Reihe genau dann konvergiert, wenn das uneigentliche Integral
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{2}^{n} \frac{1}{x \ln (x)^{c}} \mathrm{~d} x\end{aligned} \)
konvergiert (ich habe den Logarithmus mal als jenen zur Basis \( e \) aufgefasst, das macht jedoch keinen unterschied in der folgenden Berechnung). Also berechnen wir mal das uneigentliche Integral: Wir erkennen \( \frac{1}{x} \) als Ableitung des natürlichen Logarithmus und können demenstrechend die Substitutionsregel anwenden: Für den Fall \( c=1 \) ergibt sich
\(\begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{2}^{n} \frac{1}{x \ln (x)}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{\ln (2)}^{\ln (n)} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}[\ln (\ln (n))-\ln (\ln (2))]=\infty .\end{aligned} \)
In diesem Fall divergiert also das Integral, und somit auch die Reihe. Für \( c>1 \) gilt jedoch
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{2}^{n} \frac{1}{x \ln (x)^{c}} \mathrm{~d} x &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int \limits_{\ln (2)}^{\ln (n)} \frac{1}{x^{c}} \mathrm{d} x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{(-c+1) x^{c-1}}\right]_{\ln (2)}^{\ln (n)} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{(-c+1) \ln (n)^{c-1}}-\frac{1}{(-c+1) \ln (2)}\right]=-\frac{1}{(-c+1) \ln (2)} . \end{aligned} \)
Somit konvergiert in diesem Fall das Integral und daher auch die Reihe.
