Aloha :)
Wir betrachten die Potenzreihe:\(\quad p(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}=\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\cdot x^k\;;\;a_k=\frac1k\)
Ihr Konvergenzradius ist:$$r=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{\frac{1}{k}}{\frac{1}{k+1}}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{k+1}{k}\right|=\lim\limits_{k\to\infty}\left|1+\frac1k\right|=1$$sodass für \(|x|<r=1\) die Reihe sicher konvergiert.
Die Randfälle \(|x|=1\) müssen wir noch separat untersuchen.
$$p(1)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac1k\to\infty\quad\text{(harmonische Reihe)}$$$$p(-1)=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k}=-\ln(2)$$Solltest du den Grenzwert für \(p(-1)\) nicht auswendig wissen, berufe dich das Leibnitz-Kriterium und darauf, dass die \((a_k=\frac1k)\) eine monotone Nullfolge ist.
Die Potenzreihe konvergiert also für:\(\quad -1\le x<1\).
