Zeigen Sie Σ _{k=1}^{∞} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{4}

Question

Text erkannt:

52. (a) Wir zeigen später dass \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \). Verwenden Sie dies um \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2 k+1)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8} \) zu zeigen.
(b) Zeigen Sie \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{4} \)
Hinweis: (b) mit Partialbruchzerlegung. Finden Sie \( A, B, C \) sodass \( \forall k: \frac{1}{k(k+1)(k+2)}= \) \( \frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2} \)

Comments

Aufgabe (b) wurde bereits mehrfach gestellt. Eine Lösung gibt es z.B. hier.

---

Zu (a) siehe z.B. hier.