Zeigen Sie: ∀A ∈ ℝ2x1 , B ∈ ℝ1x2 : A*B ∉ GL(2,ℝ).

Question

Aufgabe:

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∀A ∈ ℝ^2x1 , B ∈ ℝ^1x2 : A*B ∉ GL(2,ℝ).

Problem/Ansatz:

Ich komme hier nichtt weiter :(

Kann mir jemand helfen?

Comments

Die Aufgabe wurde kürzlich gelöst. Dort wurde zunächst das Matrizenprodukt

$$\begin{pmatrix} a  \\ b\end{pmatrix}\begin{pmatrix} c & d  \end{pmatrix}$$

berechnet .....

Answer 1

Aloha :)

Wir wählen \(A=\begin{pmatrix}a_{11}\\{a_{21}}\end{pmatrix}\in \mathbb R^{2\times1}\) und \(B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\end{pmatrix}\in \mathbb R^{1\times2}\). Ihr Produkt lautet:$$AB=\begin{pmatrix}a_{11}\\{a_{21}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\end{pmatrix}\in \mathbb R^{1\times2}=\left(\begin{array}{c|c}b_{11}\binom{a_{11}}{a_{21}} & b_{12}\binom{a_{11}}{a_{21}}\end{array}\right)=\begin{pmatrix}a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12}\\a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12}\end{pmatrix}$$

Die Determinante dieser \(2\times2\)-Matrix lautet:$$\operatorname{det}(AB)=a_{11}b_{11}\cdot a_{21}b_{12}-a_{21}b_{11}\cdot a_{11}b_{12}=0$$Daher ist diese Matrix \(AB\) nicht invertierbar.