Sei A ∈ GLn(ℝ) keine Diagonalmatrix. Zeigen Sie, dass es eine Diagonalmatrix B ∈ GLn(ℝ) gibt mit A · B ≠ B · A.

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ mit n ≥ 2.
Sei A ∈ GL_n(ℝ) keine Diagonalmatrix. Zeigen Sie, dass es eine Diagonalmatrix
B ∈ GL_n(ℝ) gibt mit A · B ≠ B · A.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier mal mit der Summe gearbeitet:

Sei A = (a)_ij und B = (b)_jk. Dann ist c_ik = ∑^m_j a_ij*b_jk
Wenn A keine Diagonalmatrix ist, B aber schon, dann ist die Summe gleich 0, wenn i≠j und k≠j ist.
Also ∑^m_j=i=k a_ij*b_jk + ∑^m_j≠i=k a_ij*b_jk + ∑^m_j=i≠k a_ij*b_jk + ∑^m_j≠i≠k a_ij*b_jk

Folgt:  ∑^m_j=i=k a_ij*b_jk + 0 + 0 + 0 = ∑^m_j=i=k a_ij*b_jk

Auf der anderen Seite, also wenn man die Rollen von A und B vertauscht, komme ich auf das selbe raus:

∑^m_j=i=k a_ij*b_jk = ∑^m_j=i=k b_ij*a_jk

Wo liegt mein Fehler? Ist vielleicht mein Ansatz falsch? Wäre für Hilfe sehr dankbar.

Answer 1

Also für \( n = 2 \) tun es die folgenden matrizen

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}  $$ und $$ B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$

\( A \) ist invertierbar

\( \det(A) = -2 \ne 0 \) und \( B \) ist diagonal.