Invertierbare Matrix sodass eine Diagonalmatrix ist

Question

Wir betrachten die Matrix
A =
1     0    −1
p     1     0
1     0     1

mit p ∈ C (womit A ∈ C^3×3 oder A ∈ R^3×3 gilt).

Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S ∈ C^3×3  sodass S⁻¹AS eine obere Dreiecksmatrix ist.

Wie sollte ich dabei vorgehen? Eigenwerte bestimmen oder A invertieren? 

Answer 1

Das charakteristische Polynom lautet \(p_A(t)=t^3-3t^2+4t-2=(t-1)(t^2-2t+2)\).
Die Eigenwerte lauten: \(\lambda_1=1,\,\lambda_2=1+i,\,\lambda_3=1-i\).
Die entsprechenden Eigenvektoren lauten: \(v_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\,v_2=\begin{pmatrix}\operatorname i\\p\\1\end{pmatrix},\,v_3=\begin{pmatrix}-\operatorname i\\p\\1\end{pmatrix}\).
Damit gilt
\(\begin{pmatrix}0&\operatorname i&-\operatorname i\\1&p&p\\0&1&1\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1&0&-1\\p&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&\operatorname i&-\operatorname i\\1&p&p\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1+\operatorname i&0\\0&0&1-\operatorname i\end{pmatrix}\).

Answer 2

Ist bekannt, dass die Matrix diagonalisierbar ist, verkürzt sich das Verfahren zu

    Charakteristisches Polynom berechnen
    Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen

    Eigenvektoren berechnen und zu Transformationsmatrix S zusammensetzen

    Diagonalmatrix aufstellen

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