0 Daumen
5,1k Aufrufe

Wir betrachten die Matrix
A =
1     0    −1
p     1     0
1     0     1

mit p ∈ C (womit A ∈ C3×3 oder A ∈ R3×3 gilt).

Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S ∈ C3×3  sodass S−1AS eine obere Dreiecksmatrix ist.

Wie sollte ich dabei vorgehen? Eigenwerte bestimmen oder A invertieren? 


Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

Das charakteristische Polynom lautet pA(t)=t33t2+4t2=(t1)(t22t+2)p_A(t)=t^3-3t^2+4t-2=(t-1)(t^2-2t+2).
Die Eigenwerte lauten: λ1=1,λ2=1+i,λ3=1i\lambda_1=1,\,\lambda_2=1+i,\,\lambda_3=1-i.
Die entsprechenden Eigenvektoren lauten: v1=(010),v2=(ip1),v3=(ip1)v_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},\,v_2=\begin{pmatrix}\operatorname i\\p\\1\end{pmatrix},\,v_3=\begin{pmatrix}-\operatorname i\\p\\1\end{pmatrix}.
Damit gilt
(0ii1pp011)1(101p10101)(0ii1pp011)=(10001+i0001i)\begin{pmatrix}0&\operatorname i&-\operatorname i\\1&p&p\\0&1&1\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}1&0&-1\\p&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&\operatorname i&-\operatorname i\\1&p&p\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1+\operatorname i&0\\0&0&1-\operatorname i\end{pmatrix}.

Avatar von
0 Daumen

Ist bekannt, dass die Matrix diagonalisierbar ist, verkürzt sich das Verfahren zu

    Charakteristisches Polynom berechnen
    Nullstellen des charakteristischen Polynoms berechnen

    Eigenvektoren berechnen und zu Transformationsmatrix S zusammensetzen

    Diagonalmatrix aufstellen

Wo brauchst Du Hilfe?

Avatar von 21 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage