Finden Sie eine invertierbare Matrix P ∈ GL4 (R) derart, dass P^T*S*P eine Diagonalmatrix ist.

Question

Gegeben sei die reelle Matrix

          _{1    0   1    0}

_{S=      0   1    1    2}

           _{1   1    0    0}

           _{0    2   0    2}

_{Finden Sie eine invertierbare Matrix P ∈ GL4 (R) derart, dass P}^T_{*S*P eine Diagonalmatrix ist.}

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Hallo Gast,

hast du schon eine Lösung zu dieser Aufgabe gefunden?

Answer 1

Ein Abschreibfehler?

\(\small EW \, :=  \, \left\{ -1.323404276086, 0, 1.642073632481, 3.681330643605 \right\} \)

Da bleibt nur der Weg das über ein CAS zu jagen, bei den krummen Eigenwerten:

\(\small S \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}0.5&-0.8144953902018&0.07102555770596&-0.2855742101322\\-0.5&-0.04425331178633&0.6300581100911&-0.5925102718978\\-0.5&-0.5229660138263&0.1904430043563&0.6635043409612\\0.5&0.2472760645891&0.7494755567414&0.3565682791957\\\end{array}\right)\)

Comments

Dein \(S\) soll wohl das gesuchte \(P\) sein?
Eine mögliche Lösung ohne CAS könnte wie folgt lauten:$$\begin{pmatrix}-\frac{\sqrt2}2&1&1&1\\\frac{\sqrt2}2&0&0&-1\\\frac{\sqrt2}2&0&-1&-1\\0&0&0&1\end{pmatrix}^\top\cdot\begin{pmatrix}1&0&1&0\\0&1&1&2\\1&1&0&0\\0&2&0&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\frac{\sqrt2}2&1&1&1\\\frac{\sqrt2}2&0&0&-1\\\frac{\sqrt2}2&0&-1&-1\\0&0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}.$$