Zeigen Sie, dass das Zentrum von GLn(R) Z(GLn(ℝ)) = {λEn | λ ∈ ℝ \ {0}} ist.

Question

Aufgabe:

Die Menge Z(GL_n(ℝ)) := {A ∈ GL_n(ℝ) | A · B = B · A für alle B ∈ GL_n(ℝ)}.
heißt das Zentrum von GL_n(ℝ). Zeigen Sie Z(GL_n(ℝ)) = {λE_n | λ ∈ ℝ \ {0}}.

Problem/Ansatz:

Meine Vermutung ist, dass man die Eigenschaft benutzen könnte, dass zwei Matrizen nur kommutativ sind, wenn es ein P ∈ GL_n(ℝ) gibt, sodass P*A*P^-1 und P*B*P^-1 diagonal sind. Weiter weiß ich auch nicht.
Hat jemand sonst eine Idee, wie man das lösen könnte?

Edit: Vielleicht kann man das auf wie folgt begründen:
P*A*P^-1 = PλE_nP^-1
= λP*E_n*P^-1
= λP*P^-1
= λE_n

Answer 1

Sei \(A\in Z(GL_n(R))\). Zu jedem Paar \(i,j\in \{1,\cdots,n\}\) sei

\(E_{ij}\) die Matrix, die an der Position \((i,j)\) eine 1 besitzt und sonst nur

Nullen. Es gilt dann \(E_{ij}E_{rs}=\delta_{jr}E_{is}\), wobei \(\delta_{jr}\)

das Kronecker-Symbol ist.

Seien nun \(r,s\in \{1,\cdots,n\}\) mit \(r\neq s\), dann ist \(I_n+E_{rs}\in GL_n\).

Da \(A\) im Zentrum liegt, muss \(A(I_n+E_{rs})=(I_n+E_{rs})A\) sein,

also \(AE_{rs}=E_{rs}A\).

Wir haben$$AE_{rs}=\sum_{i,j}a_{ij}E_{ij}E_{rs}=\sum_i a_{ir}E_{is}=\\E_{rs}A=\sum_{i,j}a_{ij}E_{rs}E_{ij}=\sum_j a_{sj}E_{rj}$$Da die Matrizeneinheiten \(E_{ij}\) linear unabhängig sind, folgt daraus

\(a_{rr}=a_{ss}\) und \(a_{ir}=0=a_{sj}\) für \(i\neq r\vee j\neq s\). Dies gilt für alle Paare

\((r,s)\) mit \(r\neq s\). \(A\) ist also eine Diagonalmatrix mit lauter gleichen

Diagonalelementen, q.e.d.

Answer 2

Sei A ∈  {λEn | λ ∈ ℝ \ {0}} und B ∈ GLn(ℝ)}.

 ==>   A*B=λEn*B = λ*B und  B*λEn=λEn*B = λ*B

Also gilt für alle B ∈ GLn(ℝ)}         A*B=B*A.

Damit ist jedenfalls {λEn | λ ∈ ℝ \ {0}} ⊆ Z(GLn(ℝ)).

Für die Rückrichtung sei A ∈ Z(GLn(ℝ)).

Dann gilt für alle   B ∈ GLn(ℝ)}     A*B=B*A

Aber dann ?

Comments

Dann ist Z(GL_n(ℝ)) = {λE_n | λ ∈ R \ {0}}, weil bei beiden Richtungen A*B=B*A rauskommt?

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Für die andere Richtung müsste man aus

Sei A ∈ Z(GLn(ℝ))
Dann gilt für alle B ∈ GLn(ℝ)}    A*B=B*A

weiter folgern können, dass gilt A ∈  {λEn | λ ∈ ℝ \ {0}}.

Dazu muss man vermutlich einige spezielle Matrizen

B betrachten.