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Aufgabe:

Es ist die Matrix
\( A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 2 & \alpha & 1 \\ -10 & 0 & -2 \end{array}\right) \)
mit einem Parameter \( \alpha \in \mathbb{R} \) gegeben.
(a) Untersuchen Sie, für welche Parameterwerte \( \alpha \in \mathbb{R} \) die Matrix \( A_{\alpha} \) diagonalisierbar ist.
(b) Bestimmen Sie für \( \alpha=3 \) eine invertierbare Matrix \( S \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \) und eine Diagonalmatrix \( D \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \), so dass \( A_{3}=S D S^{-1} \) gilt.


Problem/Ansatz:

Bei a habe ich die Eigenwerte berechnet.

det(A)= (3-k)(a-k)(-2-k)

k1= 3, k2=a, k3=-2

Daraus würde ich schließen das a element R ist.


bei b)

Das habe ich die Matrix:

\( A_{\alpha}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ -10 & 0 & -2 \end{array}\right) \)

Mit den eigenwerten k1=3, k2=3, k3=3

Eigenvektoren

 \( k1=\left(\begin{array}{rrr} -0.5\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \)

K2=\( \left(\begin{array}{rrr} -0.5\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \)

\( k3=\left(\begin{array}{rrr} 0\\ -0.2\\ 1 \end{array}\right) \).

S= \( A_{3}:=\left(\begin{array}{rrr} -0.5 & -0.5 & 0 \\ 0 & 0 & -0.2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \)

D= \( A_{3}:=\left(\begin{array}{rrr} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right) \)

Aber wenn ich die invertierte matrix S ausrechnen will, kommt det=0, also nicht invertierbar.


Könnte mir jemand dabei helfen, ob die Aufgaben richtig sind oder nicht und wenn nicht mir dabei helfen könnte.

Avatar von

Die Aufgabe ist soweit Richtig


Zweimal der gleiche Eigenvektor kann wohl kaum richtig sein.

1 Antwort

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Beste Antwort

a ∈ ℝ ist Vorgabe:

Allgemein erhältst Du die Eigenvektoren

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}0&\frac{-1}{2}&0\\\frac{-1}{\alpha + 2}&0&1\\1&1&0\\\end{array}\right)\)

es gibt also Ärger für α=-2, an sonsten

\(\small D \, :=  \, T^{-1} \; A \; T\)

Avatar von 21 k

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