Bestimmen Sie den Grenzwert von Σ _{i=1}^{∞} \frac{1}{i ·(i+1)}

Question

Guten Abend zusammen

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert von \( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i \cdot(i+1)} \)

Text erkannt:

\( \sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i \cdot(i+1)} \)

Mein Ansatz:

Da wir schon gelernt haben wie wir von geometrischen Reihe den Grenzwert berechnet, habe ich versucht die Reihe wie eine geometrische Reihe zu behandeln. Jedoch ist sie ja keine. Wie gehe ich vor bei einer gewöhnlichen Reihe?

Vielen Dank im Voraus!

MfG
GeoFolgen

Answer 1

$$\sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i \cdot(i+1)}=\sum \limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...=1$$

Alles hebt sich wieder auf. Außer die 1. Also \( -\frac{1}{2} \)+\( \frac{1}{2} = 0 \quad -\frac{1}{3} \)+\( \frac{1}{3} = 0 \)

Also ist das im unendlichen: 1+0+0+0+0+0... = 1

Comments

Guten Tag Martin_98

Danke vielmals. Heisst das, dass ich hier kein Verfahren anwenden kann? Wie haben Sie dies herausgefunden (durch Intuition)?

Answer 2

Aloha :)

Hier haben wir es mit einer sog. "Teleskopsumme" zu tun. Die Rechnung von Martin sieht ausführlich wie folgt aus:

$$S_n\coloneqq\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i(i+1)}=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac1i-\frac{1}{i+1}\right)=\sum\limits_{i=1}^n\frac1i-\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{i+1}=\sum\limits_{i=1}^n\frac1i-\sum\limits_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i}$$$$\phantom{S_n}=\left(\frac11+\sum\limits_{i=2}^n\frac1i\right)-\left(\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{1}{i}+\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}$$$$S=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1$$

Das Vorgehen ist immer ähnlich. Du teilst eine Summe in zwei Summen auf, führst eine Indexverschiebung durch, sodass sich die beiden Summen gegenseitig wegheben.